Trasformata di fourier
ragazzi ho dei problemi nel fare la trasformata di fourier della funzione $t sen^2(t) cos(t)$
Io mi sono mosso nel seguente modo, ma poi nel 4° passaggio mi blocco...non riesco a capire dov'è l'errore..
http://img372.imageshack.us/my.php?image=immagine1hu4.jpg
vi ringrazio...
Io mi sono mosso nel seguente modo, ma poi nel 4° passaggio mi blocco...non riesco a capire dov'è l'errore..
http://img372.imageshack.us/my.php?image=immagine1hu4.jpg
vi ringrazio...
Risposte
Innanzitutto scrivo la definzione di trasformata di Fourier che adotterò (visto che ne esistono alcune varianti):
$X(omega) = int_{-oo}^{+oo} x(t)e^(-jomegat) dt$, $omega in RR$
Nel tuo caso utilizzerei la formula di Eulero e la formula di duplicazione, dunque:
$x(t) = t sin^2(t) cos(t) = t/2 sin(2t) sin(t) = t/2 ((e^(j2t)-e^(-j2t))/(2j))((e^(jt)-e^(-jt))/(2j)) = (-jt)/(j8) (e^(j3t)+e^(-j3t)-e^(jt)-e^(-jt))$
Ora basta ricordare la formula di traslazione in $omega$ e aver presente inoltre che la funzione $sin^2(t) cos(t)$, benché non appartenga allo spazio di Lebesgue $L^1$, è una distribuzione temperata e ad essa si possono applicare le formule fondamentali (trasformata della derivata e la sua duale). Lascio a te per esercizio completare i passaggi (in effetti rinuncio volentieri a tale onere...)
$X(omega) = int_{-oo}^{+oo} x(t)e^(-jomegat) dt$, $omega in RR$
Nel tuo caso utilizzerei la formula di Eulero e la formula di duplicazione, dunque:
$x(t) = t sin^2(t) cos(t) = t/2 sin(2t) sin(t) = t/2 ((e^(j2t)-e^(-j2t))/(2j))((e^(jt)-e^(-jt))/(2j)) = (-jt)/(j8) (e^(j3t)+e^(-j3t)-e^(jt)-e^(-jt))$
Ora basta ricordare la formula di traslazione in $omega$ e aver presente inoltre che la funzione $sin^2(t) cos(t)$, benché non appartenga allo spazio di Lebesgue $L^1$, è una distribuzione temperata e ad essa si possono applicare le formule fondamentali (trasformata della derivata e la sua duale). Lascio a te per esercizio completare i passaggi (in effetti rinuncio volentieri a tale onere...)
ok ho capito grazie. Non sai quanto tempo ci ho perso...
senti ho un dubbio anche su quest'altra trasformata di fourier della funzione
$f(t)=sen(t) /[t^2+1]$
allora $f(t)=Im[e^[ix] /[t^2+1]]$
applico il metodo dei residui
$res(i)= e^[s-1] / [2i]$
la trasformata mi viene $pigreco*e^[s-1]$
siccome non'ho la soluzione, dici che è corretto? a me non sembrerebbe corretto....
senti ho un dubbio anche su quest'altra trasformata di fourier della funzione
$f(t)=sen(t) /[t^2+1]$
allora $f(t)=Im[e^[ix] /[t^2+1]]$
applico il metodo dei residui
$res(i)= e^[s-1] / [2i]$
la trasformata mi viene $pigreco*e^[s-1]$
siccome non'ho la soluzione, dici che è corretto? a me non sembrerebbe corretto....
Dunque, vediamo...
$x(t) = (sin(t))/(1+t^2) = ((e^(jt)-e^(-jt))/(2j)) * (1/(1+t^2)) = 1/(2j) (e^(jt) 1/(1+t^2) - e^(-jt) 1/(1+t^2))$
Trasformiamo innanzitutto $y(t) = 1/(1+t^2)$, risulta:
$Y(omega) = int_{-oo}^{+oo} (e^(-jomegat))/(1+t^2) dt = pie^(-|omega|)$
...tale risultato si ottiene col metodo dei residui e immagino tu non abbia problemi (in caso contrario dimmelo che ti posto tutti i passaggi).
Ricordando ora la formula di traslazione in $omega$ (qualche ingegnere potrebbe dire "traslazione in frequenza"), risulta:
$X(omega) = 1/(2j) (pie^(-|omega-1|) - pie^(-|omega+1|)) = j/(2) (pie^(-|omega+1|) - pie^(-|omega-1|))$
$x(t) = (sin(t))/(1+t^2) = ((e^(jt)-e^(-jt))/(2j)) * (1/(1+t^2)) = 1/(2j) (e^(jt) 1/(1+t^2) - e^(-jt) 1/(1+t^2))$
Trasformiamo innanzitutto $y(t) = 1/(1+t^2)$, risulta:
$Y(omega) = int_{-oo}^{+oo} (e^(-jomegat))/(1+t^2) dt = pie^(-|omega|)$
...tale risultato si ottiene col metodo dei residui e immagino tu non abbia problemi (in caso contrario dimmelo che ti posto tutti i passaggi).
Ricordando ora la formula di traslazione in $omega$ (qualche ingegnere potrebbe dire "traslazione in frequenza"), risulta:
$X(omega) = 1/(2j) (pie^(-|omega-1|) - pie^(-|omega+1|)) = j/(2) (pie^(-|omega+1|) - pie^(-|omega-1|))$
"Kroldar":
Dunque, vediamo...
$x(t) = (sin(t))/(1+t^2) = ((e^(jt)-e^(-jt))/(2j)) * (1/(1+t^2)) = 1/(2j) (e^(jt) 1/(1+t^2) - e^(-jt) 1/(1+t^2))$
Trasformiamo innanzitutto $y(t) = 1/(1+t^2)$, risulta:
$Y(omega) = int_{-oo}^{+oo} (e^(-jomegat))/(1+t^2) dt = pie^(-|omega|)$
...tale risultato si ottiene col metodo dei residui e immagino tu non abbia problemi (in caso contrario dimmelo che ti posto tutti i passaggi).
Ricordando ora la formula di traslazione in $omega$ (qualche ingegnere potrebbe dire "traslazione in frequenza"), risulta:
$X(omega) = 1/(2j) (pie^(-|omega-1|) - pie^(-|omega+1|)) = j/(2) (pie^(-|omega+1|) - pie^(-|omega-1|))$
Per il metodo dei residui non'ho problemi, ma provando a calcolare la trasformata di fourier di quella funzione applicando il metodo dei residui a $((e^(jt)-e^(-jt))/(2j)) * (1/(1+t^2))$, ottengo
$X(omega)=1/2j (pie^[s+1]-pie^[s-1]). Come mai c'è questa differenza nel risultato?
Ho un ultimo dubbio sulla trasformata di fourier della seguente funzione
$f(t)=[cos(t)-cos(2t)]/t^2$
sapendo che $g(t)=[cos(t)-cos(2t)]/t$ ha per trasformata
$G(omega)=pi*j(chi_[1,2](omega)-chi_[-2,-1](omega))$
quindi sapendo che $g(t)/t$ si trasforma in $int_{omega}^{+oo}(g(omega))$, per semplicità, analizziamo solo il caso in cui $1+oo) pi*u - pi*omega$ ma viene oo come risultato....il che è sbagliato...
$f(t)=[cos(t)-cos(2t)]/t^2$
sapendo che $g(t)=[cos(t)-cos(2t)]/t$ ha per trasformata
$G(omega)=pi*j(chi_[1,2](omega)-chi_[-2,-1](omega))$
quindi sapendo che $g(t)/t$ si trasforma in $int_{omega}^{+oo}(g(omega))$, per semplicità, analizziamo solo il caso in cui $1
Inizio a risponderti alla prima domanda: non c'è nessuna differenza di risultato, il risultato viene uguale in entrambi i casi... se ti viene diverso magari hai sbagliato qualche conto.
Per la seconda domanda, mi dispiace ma non ho capito cosa intendi e non capisco alcuni simboli e passaggi vari.
In ogni caso cerco di metterti sulla buona strada o comunque ti dico come farei io:
$x(t)=(cos(t)-cos(2t))/t^2=(cos(2t)-cos(t))*(-1/t^2)=(-1/t^2)*((e^(j2t)+e^(-j2t)-e^(jt)-e^(-jt))/2)$
Ricordiamo però che:
$-1/t^2 = d/dt 1/t$
Orbene, $1/t$ è una distribuzione temperata...
La formula di traslazione in frequenza la conosci, la formula per la trasformata della derivata pure, puoi procedere
Per la seconda domanda, mi dispiace ma non ho capito cosa intendi e non capisco alcuni simboli e passaggi vari.
In ogni caso cerco di metterti sulla buona strada o comunque ti dico come farei io:
$x(t)=(cos(t)-cos(2t))/t^2=(cos(2t)-cos(t))*(-1/t^2)=(-1/t^2)*((e^(j2t)+e^(-j2t)-e^(jt)-e^(-jt))/2)$
Ricordiamo però che:
$-1/t^2 = d/dt 1/t$
Orbene, $1/t$ è una distribuzione temperata...
La formula di traslazione in frequenza la conosci, la formula per la trasformata della derivata pure, puoi procedere
Ancora grazie di cuore...come sempre trovi una strada ben più semplice di quella pensata da me...Un ultima domanda su questo argomento, la divisione per t non l'ho trovata in nessun libro...e così me la sono ricavata, è giusta?
$f(t)/t$ si trasforma in $int_{omega}^{+oo}(F(omega)/j)$
$f(t)/t$ si trasforma in $int_{omega}^{+oo}(F(omega)/j)$
Mi sembra ci sia un errore in quello che dici... premetto che non conosco a memoria la formula da te cercata... vediamo di trovarla.
Innanzitutto occorre conoscere la trasformata di $1/t$... essa è pari a $jpisgn(-omega)$, dove con $sgn(t)$ indico la funzione che vale $1 AA t > 0$, vale $0$ per $t=0$, vale $-1 AA t < 0$.
Adesso ricorda la proprietà per cui la trasformata di un prodotto è uguale alla convoluzione delle trasformate per un
fattore moltiplicativo $1/(2pi)$...
Innanzitutto occorre conoscere la trasformata di $1/t$... essa è pari a $jpisgn(-omega)$, dove con $sgn(t)$ indico la funzione che vale $1 AA t > 0$, vale $0$ per $t=0$, vale $-1 AA t < 0$.
Adesso ricorda la proprietà per cui la trasformata di un prodotto è uguale alla convoluzione delle trasformate per un
fattore moltiplicativo $1/(2pi)$...
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