Trasformata di Fourier
Salve, avrei bisogno di una mano sulle trasformate di Fourier. Sulle dispense c'è la teoria,fatta in malo modo, e ZERO esempi. Online ho trovato anche poco sul modus operandi.
Potet spiegarmi come risolvere questo esercizio? Ho letto che esiste il metodo dei residui (sto infatti studiando per l'esame di metodi):
\(\displaystyle F(x) = \frac {x} {(a^{2} +x^{2})(b^{2} +x^{2})} \)
Per sommi capi, come procedere? Avete qualche link su cui poter vedere in generale come fare?
Potet spiegarmi come risolvere questo esercizio? Ho letto che esiste il metodo dei residui (sto infatti studiando per l'esame di metodi):
\(\displaystyle F(x) = \frac {x} {(a^{2} +x^{2})(b^{2} +x^{2})} \)
Per sommi capi, come procedere? Avete qualche link su cui poter vedere in generale come fare?
Risposte
Possibile che la risposta alla trasformata di fourier sia semplicemente collocare la funzione nell'integrale di \(\displaystyle f(x)e^{iwx} \) calcolato fra meno e più infinito e dividere per \(\displaystyle \sqrt(2 \pi) \)?
Poi quando è pari, l'esponenziale è cosx mentre quando è dispari è senx, no?
Cioè,possibile sia solo un algoritmo in cui inserire la funzione ed ottenere il risultato?
Poi quando è pari, l'esponenziale è cosx mentre quando è dispari è senx, no?
Cioè,possibile sia solo un algoritmo in cui inserire la funzione ed ottenere il risultato?
La trasformata di Fourier \(\mathcal Ff\) di una funzione \(f\colon\mathbb R\to\mathbb R\) (soddisfacente alcune ipotesi) è definita proprio come
\[
(\mathcal Ff)(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-i\xi x}f(\xi)\,\mathrm{d}\xi.
\]
Se ti hanno indicato il teorema dei residui è perché spesso è utile nel risolvere l'integrale che si ottiene.
\[
(\mathcal Ff)(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-i\xi x}f(\xi)\,\mathrm{d}\xi.
\]
Se ti hanno indicato il teorema dei residui è perché spesso è utile nel risolvere l'integrale che si ottiene.
Quindi una volta sostituto la f(x) da trsasformare nell'integrale di fourier, fatte le dovute considerazioni sulla parità o meno della funzione, lo considero semplicemente come un integrale da calcolare normalmente e se ha punti singolari isolati, sfruttare i residui integrali. Bene, mi complico solo la vita ogni volta XD Comunque alla fine si può dire che la trasformata è semplicemente un algoritmo al quale diamo in pasto la funzione e otteniamo la sua trasformata, giusto?
Certo, ottieni un integrale (nella variabile che ho chiamato \(\xi\)) in cui puoi trattare \(x\) come parametro, e lo risolvi come più ti piace.
La trasformata può essere vista senza problemi come un algoritmo: dopotutto è un'applicazione lineare da uno spazio (vettoriale) di funzioni a un altro, ad esempio dallo spazio di Schwartz in sé stesso.
La trasformata può essere vista senza problemi come un algoritmo: dopotutto è un'applicazione lineare da uno spazio (vettoriale) di funzioni a un altro, ad esempio dallo spazio di Schwartz in sé stesso.
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