Trasformata di Fourier
Ciao a tutti. Nel risolvere il seguente esercizio che richiede di effettuare la trasformata di Fourier mi sono bloccato.
Sostanzialmente ho $ \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin(x)}{x^2+1} \* e^{-i \xi x} dx $ nel quale sostituendo $sin(x) = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ ottengo:
$$ \hat{f}(\xi) = \frac{1}{2i} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ix-i \xi x}}{x^2+1} - \frac{1}{2i} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-ix-i \xi x}}{x^2+1}$$
Come faccio a calcolare il primo integrale ad esempio? Il calcolo degli integrali passa attraverso il teorema dei residui. Per tanto dobbiamo scegliere un semipiano in cui il numeratore rimanga limitato ( segno dell'esponente negativo). In questo caso come devo gestire la presenza della $\xi$ all'esponente, a questo scopo?
Grazie per l'aiuto!
Sostanzialmente ho $ \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin(x)}{x^2+1} \* e^{-i \xi x} dx $ nel quale sostituendo $sin(x) = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ ottengo:
$$ \hat{f}(\xi) = \frac{1}{2i} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ix-i \xi x}}{x^2+1} - \frac{1}{2i} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-ix-i \xi x}}{x^2+1}$$
Come faccio a calcolare il primo integrale ad esempio? Il calcolo degli integrali passa attraverso il teorema dei residui. Per tanto dobbiamo scegliere un semipiano in cui il numeratore rimanga limitato ( segno dell'esponente negativo). In questo caso come devo gestire la presenza della $\xi$ all'esponente, a questo scopo?
Grazie per l'aiuto!
Risposte
Vabbé ma tu puoi subito sostituire $\xi=2$ no? E ragioni direttamente su quel caso li'.
Esatto ci ho pensato solo dopo. Comunque nel caso non mi venisse specificato una $\xi$ avrei dovuto calcolare due casi per ogni integrale..
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