Trasformata di fourier
Ciao a tutti, sono nuova del forum, sarei interessata alla trasformata della funzione t^2/(t^2+4), posso inserirmi n questa discussione o devo creare un nuovo post?
grazie mille in anticipo!!!!
grazie mille in anticipo!!!!
Risposte
Ho già provveduto a separare la tua domanda dal resto del thread.
Idee tue?
Idee tue?
Grazie
Dal testo so solo che si tratta di una distribuzione, ma non ho idea sul procedimento da seguire perchè sono i primi esercizi del genere che faccio e il prof li ha spiegati malissimo!
Per favore aiutami tu!
Dal testo so solo che si tratta di una distribuzione, ma non ho idea sul procedimento da seguire perchè sono i primi esercizi del genere che faccio e il prof li ha spiegati malissimo!
Per favore aiutami tu!
Conosci qualche trasformata fondamentale in cui le funzioni che intervengono somiglino a quella assegnata?
Conosci qualche regola di calcolo per la trasformata (e.g., la traslazione, il riscalamento, la moltiplicazione per una potenza, la dualità, etc...)?
Conosci qualche regola di calcolo per la trasformata (e.g., la traslazione, il riscalamento, la moltiplicazione per una potenza, la dualità, etc...)?
tra gli appunti non ho nulla del genere (ahimè) ma ho trovato in rete quasta relazione f(z)=1/(a^2+z^), F(w)=(pi/a)*e^a|w|,
quindi considerando 1/(t^2+4) * t^2 troverei la convoluzione di F(w) * F(t^2), può essere?
P.S. Scusa ma non sono pratica nell'inserire le formule!
quindi considerando 1/(t^2+4) * t^2 troverei la convoluzione di F(w) * F(t^2), può essere?
P.S. Scusa ma non sono pratica nell'inserire le formule!
Per quel che riguarda le formule, è meglio che vai a leggerti le istruzioni al link che trovi nel riquadro rosa in alto.
Per il resto, la relazione che scrivi mi pare molto strana.
Che definizione di trasformata usi? (Sei al corrente che ci sono diverse normalizzazioni, che dipendono dalla scelta dei coefficienti, per la trasformata, vero?)
P.S.: Ingegneria?
Per il resto, la relazione che scrivi mi pare molto strana.
Che definizione di trasformata usi? (Sei al corrente che ci sono diverse normalizzazioni, che dipendono dalla scelta dei coefficienti, per la trasformata, vero?)
P.S.: Ingegneria?
Forse facciamo prima se ti dico cosa ci ha detto il prof.
Ciha dato la definizione di trasformata con l'integrale, ci ha detto che questa definizione va usata se la funzione è sommabile altrimente va fatta nel senso delle distribuzioni, e poi qualche proprietà, immagino le principali, dato che online ne ho viste parecchie di regole di trasformazione.
Ciha dato la definizione di trasformata con l'integrale, ci ha detto che questa definizione va usata se la funzione è sommabile altrimente va fatta nel senso delle distribuzioni, e poi qualche proprietà, immagino le principali, dato che online ne ho viste parecchie di regole di trasformazione.
Bene... Ma sarebbe preferibile rispondere alle domande. 
"gugo82":
Che definizione di trasformata usi?
Sia \( f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{C} \) , \( f\in L^{1}(\mathbb{R}) \) ; la funzione \( e^{-2\pi iyt} f(t) \) è sommabile per ogni \( y\in \mathbb{R} \).Si definisce trasformata di fourier
\( F\left \{ f(t),y \right \}=\int_{-\infty }^{+\infty } e^{-2\pi iyt} f(t)dt \)
\( F\left \{ f(t),y \right \}=\int_{-\infty }^{+\infty } e^{-2\pi iyt} f(t)dt \)
Con questa definizione di trasformata (che è quella usata in teoria dei segnali, poiché la \(y\) rappresenta una frequenza "pura"; i matematici, di solito, normalizzano la trasformata diversamente ), posto \(f(t):= e^{-a|t|}\) hai:
\[
\mathcal{F}[f(t)](y) = \frac{2a}{a^2+(2\pi\ y)^2}
\]
per ogni \(a>0\). Il calcolo si fa esplicitamente (prova!), e non mi ci sto a soffermare.
Se chiami \(F\) la funzione al secondo membro, la quale è sommabile se ristretta ai reali, la proprietà di dualità della trasformata:
\[
\mathcal{F}[F(t)](y) = f(-y)
\]
importa:
\[
\mathcal{F}\left[ \frac{2a}{a^2+(2\pi\ t)^2}\right](y) = e^{-a|y|}\; .
\]
D'altra parte, la proprietà di moltiplicazione per una potenza:
\[
\mathcal{F}[t^n\ f(t)](y) = \left( \frac{\imath}{2\pi} \right)^n\ \frac{\text{d}^n}{\text{d}y^n} \mathcal{F}[f(t)](y)
\]
ti fornisce:
\[
\tag{A}
\mathcal{F}\left[ t^2\ \frac{2a}{a^2+(2\pi\ t)^2}\right](y) = \left( \frac{\imath}{2\pi} \right)^2\ \frac{\text{d}^2}{\text{d}y^2}\ e^{-a|y|} = -\frac{1}{(2\pi)^2}\ \frac{\text{d}^2}{\text{d}y^2}\ e^{-a|y|}\; ,
\]
con il secondo e terzo membro da intendersi in senso distribuzionale (e ciò è "naturale", in un certo senso: infatti, la funzione trasformanda al primo membro non è \(L^1\), quindi la sua trasformata è da intendersi nel senso delle distribuzioni).
Ora, la funzione:
\[
\frac{2a\ t^2}{a^2+(2\pi\ t)^2}
\]
è molto simile alla tua, i.e. \(\frac{t^2}{4+t^2}\)... Quindi una buona strategia sembra quella di usare la (A) per calcolare ciò che ti serve, cioé \(\mathcal{F}[t^2/(4+t^2)](y)\).
Innanzitutto, dobbiamo far comparire un \(2\pi\) davanti a \(t\):
\[
\begin{split}
\frac{t^2}{4+t^2} &= \frac{t^2}{4+\frac{1}{(2\pi)^2}\ (2\pi t)^2} \\
&= \frac{(2\pi)^2\ t^2}{\underbrace{(4\pi)^2}_{\color{maroon}{=a^2}}+(2\pi\ t)^2}\\
&= \frac{\pi}{2}\ \frac{\overbrace{8\pi}^{\color{maroon}{=2a}}\ t^2}{(4\pi)^2+(2\pi\ t)^2}
\end{split}
\]
cosicché, usando la linearità e la (A) possiamo scrivere:
\[
\begin{split}
\mathcal{F}\left[ \frac{t^2}{4+t^2}\right](y) &= \mathcal{F}\left[ \frac{\pi}{2}\ \frac{8\pi\ t^2}{(4\pi)^2+(2\pi\ t)^2} \right](y)\\
&= \frac{\pi}{2}\ \mathcal{F}\left[ \frac{8\pi\ t^2}{(4\pi)^2+(2\pi\ t)^2} \right](y)\\
&= \frac{\pi}{2}\ \left( -\frac{1}{(2\pi)^2}\right)\ \frac{\text{d}^2}{\text{d}y^2}\ e^{-4\pi\ |y|}\\
&= - \frac{1}{8\pi}\ \frac{\text{d}^2}{\text{d}y^2}\ e^{-4\pi\ |y|}\; .
\end{split}
\]
Ora rimane da calcolare la derivata distribuzionale di \(e^{-4\pi\ |y|}\); ma ciò è facile, perché puoi scrivere:
\[
e^{-4\pi\ |y|} = e^{4\pi\ y}\ \operatorname{u}(-y) + e^{-4\pi\ y}\ \operatorname{u}(y)
\]
(in cui \(\operatorname{u}(\cdot)\) è il gradino unitario) ed applicare le usuali regole di derivazione distribuzionale.
Però ti conviene ricontrollare tutto per bene ed andare a parlare un po' col docente, perché i conti possono essere sballati (non faccio questi esercizi da un po').
), posto \(f(t):= e^{-a|t|}\) hai:\[
\mathcal{F}[f(t)](y) = \frac{2a}{a^2+(2\pi\ y)^2}
\]
per ogni \(a>0\). Il calcolo si fa esplicitamente (prova!), e non mi ci sto a soffermare.
Se chiami \(F\) la funzione al secondo membro, la quale è sommabile se ristretta ai reali, la proprietà di dualità della trasformata:
\[
\mathcal{F}[F(t)](y) = f(-y)
\]
importa:
\[
\mathcal{F}\left[ \frac{2a}{a^2+(2\pi\ t)^2}\right](y) = e^{-a|y|}\; .
\]
D'altra parte, la proprietà di moltiplicazione per una potenza:
\[
\mathcal{F}[t^n\ f(t)](y) = \left( \frac{\imath}{2\pi} \right)^n\ \frac{\text{d}^n}{\text{d}y^n} \mathcal{F}[f(t)](y)
\]
ti fornisce:
\[
\tag{A}
\mathcal{F}\left[ t^2\ \frac{2a}{a^2+(2\pi\ t)^2}\right](y) = \left( \frac{\imath}{2\pi} \right)^2\ \frac{\text{d}^2}{\text{d}y^2}\ e^{-a|y|} = -\frac{1}{(2\pi)^2}\ \frac{\text{d}^2}{\text{d}y^2}\ e^{-a|y|}\; ,
\]
con il secondo e terzo membro da intendersi in senso distribuzionale (e ciò è "naturale", in un certo senso: infatti, la funzione trasformanda al primo membro non è \(L^1\), quindi la sua trasformata è da intendersi nel senso delle distribuzioni).
Ora, la funzione:
\[
\frac{2a\ t^2}{a^2+(2\pi\ t)^2}
\]
è molto simile alla tua, i.e. \(\frac{t^2}{4+t^2}\)... Quindi una buona strategia sembra quella di usare la (A) per calcolare ciò che ti serve, cioé \(\mathcal{F}[t^2/(4+t^2)](y)\).
Innanzitutto, dobbiamo far comparire un \(2\pi\) davanti a \(t\):
\[
\begin{split}
\frac{t^2}{4+t^2} &= \frac{t^2}{4+\frac{1}{(2\pi)^2}\ (2\pi t)^2} \\
&= \frac{(2\pi)^2\ t^2}{\underbrace{(4\pi)^2}_{\color{maroon}{=a^2}}+(2\pi\ t)^2}\\
&= \frac{\pi}{2}\ \frac{\overbrace{8\pi}^{\color{maroon}{=2a}}\ t^2}{(4\pi)^2+(2\pi\ t)^2}
\end{split}
\]
cosicché, usando la linearità e la (A) possiamo scrivere:
\[
\begin{split}
\mathcal{F}\left[ \frac{t^2}{4+t^2}\right](y) &= \mathcal{F}\left[ \frac{\pi}{2}\ \frac{8\pi\ t^2}{(4\pi)^2+(2\pi\ t)^2} \right](y)\\
&= \frac{\pi}{2}\ \mathcal{F}\left[ \frac{8\pi\ t^2}{(4\pi)^2+(2\pi\ t)^2} \right](y)\\
&= \frac{\pi}{2}\ \left( -\frac{1}{(2\pi)^2}\right)\ \frac{\text{d}^2}{\text{d}y^2}\ e^{-4\pi\ |y|}\\
&= - \frac{1}{8\pi}\ \frac{\text{d}^2}{\text{d}y^2}\ e^{-4\pi\ |y|}\; .
\end{split}
\]
Ora rimane da calcolare la derivata distribuzionale di \(e^{-4\pi\ |y|}\); ma ciò è facile, perché puoi scrivere:
\[
e^{-4\pi\ |y|} = e^{4\pi\ y}\ \operatorname{u}(-y) + e^{-4\pi\ y}\ \operatorname{u}(y)
\]
(in cui \(\operatorname{u}(\cdot)\) è il gradino unitario) ed applicare le usuali regole di derivazione distribuzionale.
Però ti conviene ricontrollare tutto per bene ed andare a parlare un po' col docente, perché i conti possono essere sballati (non faccio questi esercizi da un po').
Perdonami gugo, ma facendo il seguente passaggio
\( \frac{t^2}{t^2+4}=\frac{t^2+4-4}{t^2+4}=1-\frac{4}{t^2+4} \)
il secondo termine risulta sommabile...procederei quindi al calcolo della trasformata come da definizione, sbaglio?
\( \frac{t^2}{t^2+4}=\frac{t^2+4-4}{t^2+4}=1-\frac{4}{t^2+4} \)
il secondo termine risulta sommabile...procederei quindi al calcolo della trasformata come da definizione, sbaglio?
E questo pure è vero... Te l'ho detto che non facevo esercizi del genere da un po'. 
Quindi che viene alla fine?
Una \(\delta\) ed un seno, "a occhio"... O no?
Quindi che viene alla fine?
Una \(\delta\) ed un seno, "a occhio"... O no?
Se non ho commesso errori, il risultato dovrebbe essere
\( \delta (t)-2\pi e^{8\pi y} \)
\( \delta (t)-2\pi e^{8\pi y} \)
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