Trasformata di Fourier
Ciao ragazzi,
vi chiedo un link o una spiegazione
sulla dimostrazione della trasformata di Fourier a partire dalla forma complessa della serie di Fourier.
Sono entrato tardi in aula, e non ho capito bene cosa stesse facendo il professore.
Probabilmente quella che chiedo è solo una dimostrazione euristica (non sono sicuro)
Comunque il mio professore si è ricavato la trasformata di Fourier (in frequenza)
dividendo il coefficiente di Fourier della serie $c_n$ (ma quale?) per $\Delta f=1/T$
dove $T$ è il periodo (mi pare).. (dovrebbe essere il periodo della funzione periodoca che esprimo in serie,
ma se è così che centra con una funzione non periodica!)
facendo il limite per $T$ tendente a infinito.
insomma $lim_{T->oo} \frac{c_n}{\Delta f}=X(f)$
lui ha detto che si ha una forma indeterminata 0/0 perchè anche $c_n$ tende a zero se T --->+inf
(così ha detto lui)
mi aiutate a ricostruire bene??? non capisco il significato della sua dimostrazione, penso dovesse avere una interpretazione chiara
sarò grato a tutti coloro che useranno la loro conoscenza per aiutarmi, nonostante la mia domanda non sia chiarissima!
vi chiedo un link o una spiegazione
sulla dimostrazione della trasformata di Fourier a partire dalla forma complessa della serie di Fourier.
Sono entrato tardi in aula, e non ho capito bene cosa stesse facendo il professore.
Probabilmente quella che chiedo è solo una dimostrazione euristica (non sono sicuro)
Comunque il mio professore si è ricavato la trasformata di Fourier (in frequenza)
dividendo il coefficiente di Fourier della serie $c_n$ (ma quale?) per $\Delta f=1/T$
dove $T$ è il periodo (mi pare).. (dovrebbe essere il periodo della funzione periodoca che esprimo in serie,
ma se è così che centra con una funzione non periodica!)
facendo il limite per $T$ tendente a infinito.
insomma $lim_{T->oo} \frac{c_n}{\Delta f}=X(f)$
lui ha detto che si ha una forma indeterminata 0/0 perchè anche $c_n$ tende a zero se T --->+inf
(così ha detto lui)
mi aiutate a ricostruire bene??? non capisco il significato della sua dimostrazione, penso dovesse avere una interpretazione chiara
sarò grato a tutti coloro che useranno la loro conoscenza per aiutarmi, nonostante la mia domanda non sia chiarissima!
Risposte
Ti dico solo 3 parole, poi se dovessi avere ancora dei dubbi, vediamo.
Il primo impatto che si ha con la TdF (trasformata di fourier) è quella per un segnale periodico di cui viene preso un periodo e si calcola l'integrale come saprai anche tu per trovare i coefficienti della serie di Fourier.
I coefficienti sono a coppie e sono una successione che può essere infinita.
Ogni coefficiente rappresenta una sinusoide di frequenza multipla della fondamentale ($f_0=1/T$).
La somma delle sinusoidi da il segnale originale.
Quindi se vogliamo graficare la nostra successione mettiamo sulle ascisse la frequenza e in ordinata l'ampiezza, otteniamo una sequenza di punti equidistanziati di $f_0$, la classica successione.
Adesso immagina di avere un segnale a-periodico, e ci si pone il problema se è possibile rappresentarlo in serie di Fourier. In pratica si considera il segnale in modo improprio come se avesse un periodo infinito.
Il modo di costruzione della serie è lo stesso ma $T$ viene portato all'infinito facendo il limite.
Se il periodo va all'infinito, la frequenza tende a zero. E cosa succede al grafico della successione ? I punti si avvicinano sempre di più fino a diventare una funzione continua. La frequenza fondamentale $f_0$ tende a zero quindi la trasformata è una funzione continua.
I $c_n$ sono i coefficienti espressi in forma complessa. I coefficienti $a_n$ e $b_n$ diventano il numero complesso $c_n=a_n+ib_n= \rho_n e^(i\theta_n)$ e il segnale diventa
$f(t)=\int_(-oo)^(+oo)\rho_n e^(i(\theta_n+n\omega_0 t)$
(non prendere tutto come oro colato....)
Il primo impatto che si ha con la TdF (trasformata di fourier) è quella per un segnale periodico di cui viene preso un periodo e si calcola l'integrale come saprai anche tu per trovare i coefficienti della serie di Fourier.
I coefficienti sono a coppie e sono una successione che può essere infinita.
Ogni coefficiente rappresenta una sinusoide di frequenza multipla della fondamentale ($f_0=1/T$).
La somma delle sinusoidi da il segnale originale.
Quindi se vogliamo graficare la nostra successione mettiamo sulle ascisse la frequenza e in ordinata l'ampiezza, otteniamo una sequenza di punti equidistanziati di $f_0$, la classica successione.
Adesso immagina di avere un segnale a-periodico, e ci si pone il problema se è possibile rappresentarlo in serie di Fourier. In pratica si considera il segnale in modo improprio come se avesse un periodo infinito.
Il modo di costruzione della serie è lo stesso ma $T$ viene portato all'infinito facendo il limite.
Se il periodo va all'infinito, la frequenza tende a zero. E cosa succede al grafico della successione ? I punti si avvicinano sempre di più fino a diventare una funzione continua. La frequenza fondamentale $f_0$ tende a zero quindi la trasformata è una funzione continua.
I $c_n$ sono i coefficienti espressi in forma complessa. I coefficienti $a_n$ e $b_n$ diventano il numero complesso $c_n=a_n+ib_n= \rho_n e^(i\theta_n)$ e il segnale diventa
$f(t)=\int_(-oo)^(+oo)\rho_n e^(i(\theta_n+n\omega_0 t)$
(non prendere tutto come oro colato....)
Grazie,
quindi $\Delta f$ del mio professore sarebbe il tuo $f_o$.
Ti torna che la trasformata di Fourier è il limite di quel rapporto da me indicato?
se si come me lo giustifichi
grazie comunque di aver condiviso!
quindi $\Delta f$ del mio professore sarebbe il tuo $f_o$.
Ti torna che la trasformata di Fourier è il limite di quel rapporto da me indicato?
se si come me lo giustifichi
grazie comunque di aver condiviso!
Ho capito d asolo.
Comunque pur studiando ingegneria meccanica sono felice di aver
incontrato questa teoria, la teria dei segnali, interessante sia dal punto di vista fisico che matematico.
La sto incontrando nel corso di meccanica delle vibrazioni.
Comunque pur studiando ingegneria meccanica sono felice di aver
incontrato questa teoria, la teria dei segnali, interessante sia dal punto di vista fisico che matematico.
La sto incontrando nel corso di meccanica delle vibrazioni.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo