Trasformata di Abel e teorema di Fubini
Salve,
ho un dubbio sul calcolo di un integrale che coinvolge la trasformata di Abel e il teorema di Fubini.
Data la trasformata di Abel cosi definita:
[tex]$ A f(y) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{y} \frac{f(z)}{\sqrt{y-z}}\, dz $[/tex]
Per provare la trasformata inversa basta applicare due volte la trasformata alla stessa funzione ovvero
[tex]$ A(Af)(y) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{y} \frac{Af(z)}{\sqrt{y-z}}\, dz $[/tex]
svolgendo un passaggio
[tex]$ \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{y} \frac{1}{\sqrt{y-z}}\, dz \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{z} \frac{f(x)}{\sqrt{z-x}}\, dx $[/tex]
da qui applicando il teorema di Fubini
[tex]$\frac{1}{\pi} \int_{0}^{y} f(x) \, dx \int_{x}^{y} \frac{1}{\sqrt{(y-z)(z-x)}}\, dz $[/tex]
Quello che non ho capito è perchè devono essere cambiati gli estremi di integrazione del secondo integrale.
Mi potete spiegare?!
Grazie
ho un dubbio sul calcolo di un integrale che coinvolge la trasformata di Abel e il teorema di Fubini.
Data la trasformata di Abel cosi definita:
[tex]$ A f(y) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{y} \frac{f(z)}{\sqrt{y-z}}\, dz $[/tex]
Per provare la trasformata inversa basta applicare due volte la trasformata alla stessa funzione ovvero
[tex]$ A(Af)(y) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{y} \frac{Af(z)}{\sqrt{y-z}}\, dz $[/tex]
svolgendo un passaggio
[tex]$ \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{y} \frac{1}{\sqrt{y-z}}\, dz \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{z} \frac{f(x)}{\sqrt{z-x}}\, dx $[/tex]
da qui applicando il teorema di Fubini
[tex]$\frac{1}{\pi} \int_{0}^{y} f(x) \, dx \int_{x}^{y} \frac{1}{\sqrt{(y-z)(z-x)}}\, dz $[/tex]
Quello che non ho capito è perchè devono essere cambiati gli estremi di integrazione del secondo integrale.
Mi potete spiegare?!
Grazie
Risposte
Riscrivi i due integrali iterati come un integrale doppio e disegna il dominio di integrazione, che sarà una specie di triangolo. Applica poi il teorema di Fubini. E' tutta questione di ragionare geometricamente.
Ok. Credo di aver capito. Adesso ho un dubbio correlato agli operatori integrali (equazioni di Fredholm) definiti su spazi di Hilbert.
operatore integrale y = I(x)
[tex]$ y(s) = \int_{a}^{b} k(s,t) x(t), dt $[/tex]
con [tex]$ s \in [a,b] $[/tex]
L'operatore I è linerare e supponiamo k(s,t) continua in [a,b] x [a,b] quindi limitata (nucleo dell'operatore limitato) [tex]$ |k(s,x)| \leqslant M $[/tex]
Supponendo di aver una norma (norma infinito o quadrato sommabile L2)
[tex]\begin{Vmatrix} y \end{Vmatrix}_{L_{1}} = \displaystyle\int_{a}^{b} |{y(s)}| \, ds = \displaystyle\int_{a}^{b} |{ \displaystyle\int_{a}^{b}k(s,t) x(t) \, dt }| \, ds \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b} \, ds \displaystyle\int_{a}^{b}{| k(s,t)|} {|x(t)|} \, dt \leqslant M (b-a) \begin{Vmatrix} x \end{Vmatrix}_{L_{1}} \leqslant M \begin{Vmatrix} x \end{Vmatrix}_{L_{1}}[/tex]
ho trovato la seguente proprietà che non riesco a dimostrare
[tex]\begin{Vmatrix} I \end{Vmatrix}_{L_{\infty }} = max _{s \in [a,b]} \displaystyle\int_{a}^{b} |{k(s,t)}| \, dt[/tex]
c'è un errore?
operatore integrale y = I(x)
[tex]$ y(s) = \int_{a}^{b} k(s,t) x(t), dt $[/tex]
con [tex]$ s \in [a,b] $[/tex]
L'operatore I è linerare e supponiamo k(s,t) continua in [a,b] x [a,b] quindi limitata (nucleo dell'operatore limitato) [tex]$ |k(s,x)| \leqslant M $[/tex]
Supponendo di aver una norma (norma infinito o quadrato sommabile L2)
[tex]\begin{Vmatrix} y \end{Vmatrix}_{L_{1}} = \displaystyle\int_{a}^{b} |{y(s)}| \, ds = \displaystyle\int_{a}^{b} |{ \displaystyle\int_{a}^{b}k(s,t) x(t) \, dt }| \, ds \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b} \, ds \displaystyle\int_{a}^{b}{| k(s,t)|} {|x(t)|} \, dt \leqslant M (b-a) \begin{Vmatrix} x \end{Vmatrix}_{L_{1}} \leqslant M \begin{Vmatrix} x \end{Vmatrix}_{L_{1}}[/tex]
ho trovato la seguente proprietà che non riesco a dimostrare
[tex]\begin{Vmatrix} I \end{Vmatrix}_{L_{\infty }} = max _{s \in [a,b]} \displaystyle\int_{a}^{b} |{k(s,t)}| \, dt[/tex]
c'è un errore?
Non ti esprimi bene. Ti devi decidere: in quale spazio vuoi definire quell'operatore $I$? Nello spazio $L^2([a, b])$, dotato della norma $||*||_2$? O nello spazio $C([a, b])$, dotato della norma $||*||_{infty}$? O ancora, nello spazio $L^1([a, b])$ dotato della norma $||*||_1$? Qui sopra dici una cosa e poi nelle formule ne scrivi un'altra, è un gran minestrone.
Devo verificare la proprietà per tutte e tre le norme L1, L2 e norma del sup. Non riesco a verificare il risultato per l'ultima.
E si ma non hai dato abbastanza informazioni. Qual è il dominio dell'operatore $I$? E il codominio? Io capisco che è $I: L^{infty}([0, 1]) to L^{infty}([0, 1])$. Giusto? Se è così è proprio immediato provare che $||I|| le "max"_{x \in [a, b]}\int_a^b|k(x, y)|dy$, e per mostrare che la disuguaglianza non può essere stretta è sufficiente calcolare $I(1)$, dove per $1$ si intende la funzione di valore costante $1$.
"dissonance":
E si ma non hai dato abbastanza informazioni. Qual è il dominio dell'operatore $I$? E il codominio? Io capisco che è $I: L^{infty}([0, 1]) to L^{infty}([0, 1])$. Giusto? Se è così è proprio immediato provare che $||I|| le "max"_{x \in [a, b]}\int_a^b|k(x, y)|dy$, e per mostrare che la disuguaglianza non può essere stretta è sufficiente calcolare $I(1)$, dove per $1$ si intende la funzione di valore costante $1$.
Si scusa, il dominio è [0,1]->[0,1] in tutte e tre le metriche. La "dimostrazione" nel caso L1 e L2 è banale, nel caso Linf non riesco a capire se è valida la disuguaglianza finale. Potresti postare anche i passaggi?
Grazie
"erotavlas":Forse hai un po' di confusione su una questione fondamentale. L'operatore $I$ è definito in uno spazio di funzioni, non in $[0, 1]$. Devi dichiarare quale sia lo spazio di funzioni in partenza e quale sia lo spazio in arrivo. Se dici $[0, 1] -> [0, 1]$ non hai detto niente (anzi per la verità questo è proprio un errore). Devi cioè scrivere una cosa come $I: L^{infty}([0, 1]) to L^{infty}([0,1])$. Mi raccomando: specifica tutti e due gli spazi, in partenza e in arrivo. E' importante che tu li assegni contemporaneamente.
il dominio è [0,1]->[0,1] in tutte e tre le metriche.
"dissonance":Forse hai un po' di confusione su una questione fondamentale. L'operatore $I$ è definito in uno spazio di funzioni, non in $[0, 1]$. Devi dichiarare quale sia lo spazio di funzioni in partenza e quale sia lo spazio in arrivo. Se dici $[0, 1] -> [0, 1]$ non hai detto niente (anzi per la verità questo è proprio un errore). Devi cioè scrivere una cosa come $I: L^{infty}([0, 1]) to L^{infty}([0,1])$. Mi raccomando: specifica tutti e due gli spazi, in partenza e in arrivo. E' importante che tu li assegni contemporaneamente.[/quote]
[quote="erotavlas"]il dominio è [0,1]->[0,1] in tutte e tre le metriche.
Con la frase "il dominio è [0,1]->[0,1] in tutte e tre le metriche" intendevo $I: L^{infty}([0, 1]) to L^{infty}([0,1])$, $I: L^{1}([0, 1]) to L^{1}([0,1])$, $I: L^{2}([0, 1]) to L^{2}([0,1])$. Non sono certo del risultato nella norma Linf.
Si si è vero. Come dicevo prima: se $f \in L^{infty}([0,1])$ allora $|If(x)| \le int_a^b |k(x, y)||f(y)|dy\le ||f||_{infty} \int_a^b|k(x, y)|dy$; passando al sup per $x\in[a, b]$ si ottiene
$||If||_{\infty}\le ||f||_{infty}"sup"_{x \in [a, b]}\int_a^b|k(x, y)|dy$,
quindi $||I|| \le "sup"_{x \in [a, b]}\int_a^b|k(x, y)|dy$. E poi la disuguaglianza non può essere stretta, vedi sopra perché.
$||If||_{\infty}\le ||f||_{infty}"sup"_{x \in [a, b]}\int_a^b|k(x, y)|dy$,
quindi $||I|| \le "sup"_{x \in [a, b]}\int_a^b|k(x, y)|dy$. E poi la disuguaglianza non può essere stretta, vedi sopra perché.
Ricapitolando
[tex]$ I(x) = \displaystyle\int_{a}^{b} k(s,t) x(t) \, dt[/tex] è l'integrale di Fredholm
[tex]$ \begin{Vmatrix} I(x) \end{Vmatrix}_{L_{\infty}} = sup_{s \in [a,b]} {| \displaystyle\int_{a}^{b} k(s,t) x(t) |}\, dt[/tex]
minore uguale
[tex]$ sup_{s \in [a,b]} \displaystyle\int_{a}^{b} {|k(s,t)|} {|x(t) |}\, dt \leqslant sup_{s \in [a,b]} {|x(t) |} * sup_{s \in [a,b]} \displaystyle\int_{a}^{b} {|k(s,t)|} \, dt = \begin{Vmatrix} x \end{Vmatrix}_{ L_{\infty}} * sup_{s \in [a,b]} \displaystyle\int_{a}^{b} {|k(s,t)|} \, dt[/tex]
da qui si ha
[tex]$ \begin{Vmatrix}I(x) \end{Vmatrix}_{ L_{\infty}} \leqslant \begin{Vmatrix} x \end{Vmatrix}_{ L_{\infty}} * sup_{s \in [a,b]} \displaystyle\int_{a}^{b} {|k(s,t)|} \, dt $[/tex]
e poi posso togliere [tex]$ \begin{Vmatrix} x \end{Vmatrix}_{ L_{\infty}} $[/tex]. Perchè? Inoltre la disuguaglianza non può essere stretta, perchè?
[tex]$ I(x) = \displaystyle\int_{a}^{b} k(s,t) x(t) \, dt[/tex] è l'integrale di Fredholm
[tex]$ \begin{Vmatrix} I(x) \end{Vmatrix}_{L_{\infty}} = sup_{s \in [a,b]} {| \displaystyle\int_{a}^{b} k(s,t) x(t) |}\, dt[/tex]
minore uguale
[tex]$ sup_{s \in [a,b]} \displaystyle\int_{a}^{b} {|k(s,t)|} {|x(t) |}\, dt \leqslant sup_{s \in [a,b]} {|x(t) |} * sup_{s \in [a,b]} \displaystyle\int_{a}^{b} {|k(s,t)|} \, dt = \begin{Vmatrix} x \end{Vmatrix}_{ L_{\infty}} * sup_{s \in [a,b]} \displaystyle\int_{a}^{b} {|k(s,t)|} \, dt[/tex]
da qui si ha
[tex]$ \begin{Vmatrix}I(x) \end{Vmatrix}_{ L_{\infty}} \leqslant \begin{Vmatrix} x \end{Vmatrix}_{ L_{\infty}} * sup_{s \in [a,b]} \displaystyle\int_{a}^{b} {|k(s,t)|} \, dt $[/tex]
e poi posso togliere [tex]$ \begin{Vmatrix} x \end{Vmatrix}_{ L_{\infty}} $[/tex]. Perchè? Inoltre la disuguaglianza non può essere stretta, perchè?
Puoi "togliere" $||x||_{infty}$ per la definizione stessa di norma operatoriale. Devi arrivarci da solo, altrimenti significa che non hai capito neanche la definizione.
La disuguaglianza non può essere stretta perché [EDIT]e no, questo punto è più delicato. Il discorso con la funzione $1$ che facevo io funziona solo se $k$ è positiva, temo. Ci penso.[/EDIT]
Mi raccomando di rifletterci parecchio da solo. Sono concetti base che devi masticare bene.
La disuguaglianza non può essere stretta perché [EDIT]e no, questo punto è più delicato. Il discorso con la funzione $1$ che facevo io funziona solo se $k$ è positiva, temo. Ci penso.[/EDIT]
Mi raccomando di rifletterci parecchio da solo. Sono concetti base che devi masticare bene.
Prima dicevo che, posto $S="sup"_{s\in [a, b]}\int_a^b |k(s, t)|dt$, risulta che $||I||le S$ e la disuguaglianza non può essere stretta. Quest'ultima affermazione è vera perché, essendo $k$ una funzione continua, esiste certamente un $s_0 \in [a,b]$ tale che $S=int_a^b|k(s_0, t)|dt$. Posto $x_0(t)="sign"(k(s_0, t))$, risulta che $x_0\inL^{infty}$ e $||x_0||_{infty}=1$. Inoltre
$|Ix_0(s)|le S$ e $|Ix_0(s_0)|=S$,
perciò $||Ix_0||_{infty}=S||x_0||_{infty}$. Ma, per definizione, $||I||="sup"_{x\ne0} frac{||Ix||_{infty}}{||x||_{infty}}$, quindi essendo $frac{||Ix_0||_{infty}}{||x_0||_{infty}}=S$, deve aversi anche $||I|| ge S$. Questo, unito al fatto precedentemente dimostrato che $||I||leS$, dimostra che $||I||=S$.
$|Ix_0(s)|le S$ e $|Ix_0(s_0)|=S$,
perciò $||Ix_0||_{infty}=S||x_0||_{infty}$. Ma, per definizione, $||I||="sup"_{x\ne0} frac{||Ix||_{infty}}{||x||_{infty}}$, quindi essendo $frac{||Ix_0||_{infty}}{||x_0||_{infty}}=S$, deve aversi anche $||I|| ge S$. Questo, unito al fatto precedentemente dimostrato che $||I||leS$, dimostra che $||I||=S$.
"dissonance":
Puoi "togliere" $||x||_{infty}$ per la definizione stessa di norma operatoriale. Devi arrivarci da solo, altrimenti significa che non hai capito neanche la definizione.
La disuguaglianza non può essere stretta perché [EDIT]e no, questo punto è più delicato. Il discorso con la funzione $1$ che facevo io funziona solo se $k$ è positiva, temo. Ci penso.[/EDIT]
Mi raccomando di rifletterci parecchio da solo. Sono concetti base che devi masticare bene.
Per definizione la norma di [tex]$x(t)$[/tex] è [tex]$ \begin{Vmatrix} x(t) \end{Vmatrix}_{\infty} = sup_{t \in [a,b] } {| x(t) |}$[/tex] mentre nel precedente post ho utilizzato la variabile s [tex]$ sup_{s \in [a, b]} {| x(t) |}$[/tex], ma [tex]$x(t)$[/tex] non dipende da s.
Quindi devo sostituire
[tex]$ \displaystyle\int_{a}^{b} {|x(t)|} \, dt \leqslant sup_{t \in [a,b]} {|x(t)|} $[/tex] per la continuità di [tex]$x(t)$[/tex] .
Adesso posso togliere [tex]$ \begin{Vmatrix}x \end{Vmatrix}_{ L_{\infty}} $[/tex] poichè la funzione [tex]$x(t)$[/tex] è definita da [tex]$ [0,1] -> [0,1] $[/tex].
Scusa, ma sono un pò arrugginito in matematica altrimenti avrei trovato le risposte da solo.
No, no, no. Tutto sbagliato. Punto primo, non mi chiedere "scusa", non mi stai facendo dispetto. Punto secondo, ti devi andare urgentemente a studiare o a ripassare la definizione di norma di un operatore lineare. E' perfettamente inutile che te la ripeta io qui, devi aprire un libro e leggere almeno un paio di paragrafi sugli operatori lineari. Se mi fai sapere cosa stai studiando (se sei uno studente) o di cosa ti stai occupando, posso provare a consigliarti qualcosa io.
ciao,
ho ripassato un pò di matematica relativa agli operatori integrali...ma ancora non mi sono chiari i passaggi per verificare che la norma infinito dell'operatore integrale è pari a...come riportato nei post precedenti. Mi potresti scrivere i passaggi?
Grazie
ho ripassato un pò di matematica relativa agli operatori integrali...ma ancora non mi sono chiari i passaggi per verificare che la norma infinito dell'operatore integrale è pari a...come riportato nei post precedenti. Mi potresti scrivere i passaggi?
Grazie
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