Trasf di Fourier di sin|t| nell'ambito delle distribuzioni
Ciao a tutti, sono uno studente di ingegneria dell'Informazione dell'università di padova.. non riesco a risolvere questo esercizio:
Sia u(t) = sin|t| = (sin t) (sgn t), con t reale. Mostrare che u appartiene allo spazio S' delle distribuzioni temperate (OK); determinare la trasformata di Fourier di u. Suggerimento: la trasformata della funzione segno (sgn) è 2/i * v.p.(1/x).
Non so se questa sia una simbologia comune, comunque con v.p.(1/x) si intende la distribuzione definita per ogni funzione test f come il valore principale dell'integrale tra meno infinito e più infinito di f(x)/x ... non riesco a risolvere l'esercizio utilizzando il suggerimento e tra pochi giorni ho l'esame.. qualche idea?
Sia u(t) = sin|t| = (sin t) (sgn t), con t reale. Mostrare che u appartiene allo spazio S' delle distribuzioni temperate (OK); determinare la trasformata di Fourier di u. Suggerimento: la trasformata della funzione segno (sgn) è 2/i * v.p.(1/x).
Non so se questa sia una simbologia comune, comunque con v.p.(1/x) si intende la distribuzione definita per ogni funzione test f come il valore principale dell'integrale tra meno infinito e più infinito di f(x)/x ... non riesco a risolvere l'esercizio utilizzando il suggerimento e tra pochi giorni ho l'esame.. qualche idea?
Risposte
La trasformata di Fourier di $sin(t)$ è nota ed è pari a
$ccF[sin(t)] = pi/j (delta(omega-1) - delta(omega+1))$
La trasformata di Fourier della funzione $sgn$, come hai già detto tu, vale invece
$ccF[sgn(t)] = v.p. 2/(jomega)$
Ora vogliamo la trasformata di $sgn(t) sin(t)$.
Ricordiamo a tal proposito che la trasformata del prodotto è uguale alla convoluzione delle trasformate, per cui si ha
$ccF[sgn(t) sin(t)] = -(2pi)/(omega-1) + (2pi)/(omega+1) = -(4pi)/(omega^2-1)$
$ccF[sin(t)] = pi/j (delta(omega-1) - delta(omega+1))$
La trasformata di Fourier della funzione $sgn$, come hai già detto tu, vale invece
$ccF[sgn(t)] = v.p. 2/(jomega)$
Ora vogliamo la trasformata di $sgn(t) sin(t)$.
Ricordiamo a tal proposito che la trasformata del prodotto è uguale alla convoluzione delle trasformate, per cui si ha
$ccF[sgn(t) sin(t)] = -(2pi)/(omega-1) + (2pi)/(omega+1) = -(4pi)/(omega^2-1)$
grazie mille.. infatti avevo pensato alla convoluzione, non riuscivo ad applicare la proprietà perché a lezione abbiamo dimostrato che la trasformata della convoluzione è il prodotto delle trasformate, mentre non abbiamo visto il viceversa e neppure la convoluzione tra distribuzioni.. probabilmente dovevo saltare questo esercizio, comunque con questi risultati riesco a fare il resto.. che dire.. grazie ancora!
Una precisazione: la trasformata del prodotto è uguale alla convoluzione delle trasformate a meno di un fattore moltiplicativo $1/(2pi)$, per cui il risultato deve essere diviso per $2pi$.
gia infatti l'ho pensato anch'io..che ricavando quella formula da quella che conoscevo tramite la formula di antitrasformazione sarebbe comparso un fattore 2pi.greco.. in effetti ho capito in che modo il mio prof voleva che fosse risolto l'esercizio.. scrivendo il seno come somma di esponenziali secondo la formula di eulero e applicando la regola che moltiplicazioni per caratteri diventano traslazioni..
"Kroldar":
La trasformata di Fourier di $sin(t)$ è nota ed è pari a
$ccF[sin(t)] = pi/j (delta(omega-1) - delta(omega+1))$
La trasformata di Fourier della funzione $sgn$, come hai già detto tu, vale invece
$ccF[sgn(t)] = v.p. 2/(jomega)$
Ora vogliamo la trasformata di $sgn(t) sin(t)$.
Ricordiamo a tal proposito che la trasformata del prodotto è uguale alla convoluzione delle trasformate, per cui si ha
$ccF[sgn(t) sin(t)] = -(2pi)/(omega-1) + (2pi)/(omega+1) = -(4pi)/(omega^2-1)$
Ciao, ti vorrei fare alcune domande: cosa intendi con quella $j$, l'unità immaginaria? Nelle formule che finora ho visto quelle $j$ sono sostituite da $i$ che compaiono al numeratore.
Come hai eseguito il prodotto di convoluzione? Credevo che bastasse semplicemente moltiplicare tra loro le due trasformate di Fourier. Ti ringrazio.
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