Trapezoide di una funzione
Data una funzione \(\displaystyle f:I\rightarrow\mathbb{R} \) (con \(\displaystyle I\subseteq\mathbb{R} \)) tale che \(\displaystyle f(x)\geq0 \hspace{0.2cm} \forall \hspace{0.2cm} x \in I \), il seguente insieme:
\(\displaystyle \mathrm{Trap}(f):=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \in I, \hspace{0.2cm} 0 \leq y \leq f(x) \} \)
viene detto trapezoide di $f$.... Ok! Si tratta sicuramente di una banalità, ma non capisco perché deve necessariamente essere \(\displaystyle f(x)\geq0 \hspace{0.2cm} \forall \hspace{0.2cm} x \in I \)....
Considerandola come area compresa tra la funzione sopra definita e l'asse delle ascisse (togliendo dall'ipotesi che debba essere necessariamente positiva), si avrebbe:
\(\displaystyle \mathrm{Trap}(f):=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \in I, \hspace{0.2cm} |y| \leq |f(x)| \} \)
Ho pensato però che quest'ultima definizione potrebbe entrare in contrasto con i metodi di calcolo degli integrali di Riemann, quindi forse la funzione considerata è stata definita positiva perché nel calcolo del trapezoide l'area compresa tra la parte di funzione che scende sotto l'asse delle ascisse e l'asse delle ascisse viene fuori come area negativa.... E quindi, per far calzare formalmente tutta quanta la struttura degli integrali di Riemann la funzione considerata deve essere necessariamente positiva. Dico bene? O mi sbaglio?
Lo so che sono stato un po' intricato, ma spero di essere stato abbastanza chiaro....
\(\displaystyle \mathrm{Trap}(f):=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \in I, \hspace{0.2cm} 0 \leq y \leq f(x) \} \)
viene detto trapezoide di $f$.... Ok! Si tratta sicuramente di una banalità, ma non capisco perché deve necessariamente essere \(\displaystyle f(x)\geq0 \hspace{0.2cm} \forall \hspace{0.2cm} x \in I \)....
Considerandola come area compresa tra la funzione sopra definita e l'asse delle ascisse (togliendo dall'ipotesi che debba essere necessariamente positiva), si avrebbe:
\(\displaystyle \mathrm{Trap}(f):=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \in I, \hspace{0.2cm} |y| \leq |f(x)| \} \)
Ho pensato però che quest'ultima definizione potrebbe entrare in contrasto con i metodi di calcolo degli integrali di Riemann, quindi forse la funzione considerata è stata definita positiva perché nel calcolo del trapezoide l'area compresa tra la parte di funzione che scende sotto l'asse delle ascisse e l'asse delle ascisse viene fuori come area negativa.... E quindi, per far calzare formalmente tutta quanta la struttura degli integrali di Riemann la funzione considerata deve essere necessariamente positiva. Dico bene? O mi sbaglio?
Lo so che sono stato un po' intricato, ma spero di essere stato abbastanza chiaro....
Risposte
Semplicemente, nella Matematica di base non ha senso un'area negativa.
Infatti, l'area (che poi si dovrebbe chiamare misura) di una regione di piano è per definizione un numero non negativo.
Quindi il fatto che l'integrale di Riemann coincida con l'area del rettangoloide (o trapezoide, o pezzottoide, o comunque tu lo voglia chiamare...) vale solo per funzioni non negative.
In generale, però, si dimostra che l'area del rettangoloide relativo ad una funzione qualsiasi coincide con l'integrale del valore assoluto di quella tale funzione.
Infatti, l'area (che poi si dovrebbe chiamare misura) di una regione di piano è per definizione un numero non negativo.
Quindi il fatto che l'integrale di Riemann coincida con l'area del rettangoloide (o trapezoide, o pezzottoide, o comunque tu lo voglia chiamare...) vale solo per funzioni non negative.
In generale, però, si dimostra che l'area del rettangoloide relativo ad una funzione qualsiasi coincide con l'integrale del valore assoluto di quella tale funzione.
Ovvio! Hai ragione! Non poteva essere altrimenti!
Grazie davvero!
Grazie davvero!
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