Traiettorie e int curvilinei

[zwan9]

Buongiorno! Avrei dei quesiti da proporvi..
1) data f(x,y,z)=2xyi + (x exp 2 + z)j + yk, in notazione vettoriale, dovrei calcolare l'integrale curvilineo da (1,0,2) a (3,4,1) lungo un segmento. Come opero in questo caso, visto che le variabili sono tre? Come definisco gli estremi dell'integrale?
2) ho la funzione f(x,y)=(x exp 2 + y exp 2)i + (x exp 2 - y exp 2)j da (0,0) a (2,0) lungo la curva y=1-|1-x|. Come si fa? Ho sempre difficoltà nel capire come determinare gli estremi.
Grazie anticipatamente!
Zwan

[goblyn]

1)
Prima cosa da fare è scrivere le equazioni parametriche del segmento:

x=1+2t
y=4t
z=2-t

con 0<=t<=1.
(Le equazioni di un segmento da P a Q sono r=P + (Q-P)t con 0<=t<=1)


Il vettore spostamento infinitesimo sul segmento è:

ds=

dx=2dt
dy=4dt
dz=-dt

Il prodotto scalare f*ds (operando le sostituzioni) è:

2xy*dx + (x exp(2) + z)*dy + y*dz =

4* [ 8t^2 + (1+e^2)t + e^2+2 ] * dt

Ora basta integrare l'ultima espressione tra 0 e 1, ottenendo:

62/3+6e^2

2)
Stavolta dobbiamo parametrizzare la curva. Per la forma della curva conviene spezzare l'integrale da (0,0) a (1,1) e da (1,1) a (2,0).

Primo pezzo:

eq. parametriche curva:

x=t
y=t

dx=dt
dy=dt

Sostituendo

f*ds= 2e^2 t dt

che integrato tra 0 e 1 dà e^2.

Secondo pezzo:

eq. parametriche curva:

x=1+t
y=1-t

dx=dt
dy=-dt

sostituendo:

f*ds = 2e^2 dt

che integrato dà 2e^2.

L'integrale vale allora e^2+2e^2= 3e^2

ciao!