Traccia di una funzione
Qualcuno sa come calcolare la traccia di una funzione? Ad esempio, qual è la traccia della funzione \(\displaystyle u(x,y)=\frac{\sin{xy}}{y} \) sui bordi del quadrato \(\displaystyle Q=(0,1)^{2} \)?
Risposte
Ciao Doblone,
non so se ho capito la domanda, si dovrebbe "vedere" quali valori assume la funzione in corrispondenza dei bordi del quadrato i cui vertici sono $O(0;0) - A (0;1) - B (1;1) - C(1;0)$?
non so se ho capito la domanda, si dovrebbe "vedere" quali valori assume la funzione in corrispondenza dei bordi del quadrato i cui vertici sono $O(0;0) - A (0;1) - B (1;1) - C(1;0)$?
@gio: Si, "traccia di una funzione" è un gergo per dire "restrizione di una funzione al bordo di un aperto in cui essa è definita". Se la funzione non è definita sul bordo, come in questo caso, si passa al prolungamento per continuità (ammesso che esso esista, chiaramente).
Come si fa per prolungare una funzione per continuità? Qual è il concetto? Non riesco a capirlo....
Interessante questione, stavo per dare una risposta, mi sono accorto in tempo che non era corretta 
Sono corretti tranne il lato basso, dove la soluzione dell'esercizio dice che la traccia è \(\displaystyle x \)????
Ottimo Sergio!
Avevo provato a risolvere per conto mio e leggere la tua soluzione mi è stato utile per completare le parti che mi mancavano, grazie.
@Doblone, hai altri esercizi del genere? Se li posti con le tue soluzioni li vediamo volentieri. Mi raccomando prova sempre a fare almeno una parte dell'esercizio, in questo modo impari un sacco dalle indicazioni degli altri!
@Dissonance: correggimi se sbaglio, la funzione è prolungabile per continuità perchè nel vertice origine il limite esiste e vale 0.
La funzione all'interno (lungo il lato sinistro vale 0) del quadrato è sempre positiva e cresce più velocemente nella regione bassa e raggiunge il valore massimo in corrispondenza del vertice $(1;0)$ dove vale 1, lungo il lato basso è una retta inclinata di 45°, cresce più lentamente nella regione alta e raggiunge il valore 0,85 (se non ho sbagliato i conti $sen1=0,85$ circa) in corrispondenza del vertice $(1;1)$. Ci sono?
Avevo provato a risolvere per conto mio e leggere la tua soluzione mi è stato utile per completare le parti che mi mancavano, grazie.
@Doblone, hai altri esercizi del genere? Se li posti con le tue soluzioni li vediamo volentieri. Mi raccomando prova sempre a fare almeno una parte dell'esercizio, in questo modo impari un sacco dalle indicazioni degli altri!
@Dissonance: correggimi se sbaglio, la funzione è prolungabile per continuità perchè nel vertice origine il limite esiste e vale 0.
La funzione all'interno (lungo il lato sinistro vale 0) del quadrato è sempre positiva e cresce più velocemente nella regione bassa e raggiunge il valore massimo in corrispondenza del vertice $(1;0)$ dove vale 1, lungo il lato basso è una retta inclinata di 45°, cresce più lentamente nella regione alta e raggiunge il valore 0,85 (se non ho sbagliato i conti $sen1=0,85$ circa) in corrispondenza del vertice $(1;1)$. Ci sono?
Sì avete ragione ho capito, posto un altro esercizio sull'appartenenza di funzioni a spazi di Sobolev.
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