Tra $0,bar9$ e 1

[Matteozio]

Secondo voi tra $0,bar9$ e 1 ci sono numeri di qualsiasi natura essi siano?

questa discussione è nata a lezione nella mia università tra studenti...

secondo me nn ci sono numeri tra $0,bar9$ e 1 ma non credo che si possa dire $0,bar9$=1

per altri invece i due numeri sono identici.

cosa ne pensate?

[G.D.5]

Sono due modi di scrivere lo stesso numero.

Almeno credo.

[_Tipper]

Risulta $0.\bar{9} = 1$. Se vuoi, guarda qui.

Si può dimostrare in diversi modi, uno è lo sviluppo in serie, uno è come ha fatto wedge (mi pare) in qualche post che ora non riesco a trovare:

$0.\bar{3} = \frac{1}{3}$

$0.\bar{6} = \frac{2}{3}$

Sommando membro a membro si ottiene $0.\bar{3} + 0.\bar{6} = 1$.

[Matteozio]

"Tipper":Risulta $0.\bar{9} = 1$. Se vuoi, guarda qui.

Si può dimostrare in diversi modi, uno è lo sviluppo in serie, uno è come ha fatto wedge (mi pare) in qualche post che ora non riesco a trovare:

$0.\bar{3} = \frac{1}{3}$

$0.\bar{6} = \frac{2}{3}$

Sommando membro a membro si ottiene $0.\bar{3} + 0.\bar{6} = 1$.

si sono d'accordo, ci sono diversi modi di dimostrare con l'analisi usuale che si tratta dello stesso numero, il problema è che mi è stato accennato che se si guarda il problema da un punto di vista non usuale, ricorrendo cioè a metodi dell'analisi non convenzionali (non ne so di più), si può considerare i 2 numeri come 2 oggetti diversi.
La cosa mi è stata accennata da un mio docente, ma nn so dirvi di più, speravo che qualcuno nel forum ne sapesse di più...

[Gaal Dornick]

Poichè comunque fissato $epsilon>0$ : $|0,bar9 -1| Tutto questo in analisi standard.. In analisi non standard so che non funziona sto ragionamento ma mi fermo per non dire fesserie.

[Luc@s]

"Gaal Dornick": In analisi non standard so che non funziona sto ragionamento ma mi fermo per non dire fesserie.

qualcuno può accennare qualcosa?

[Luca.Lussardi]

Per una introduzione all'analisi non standard si veda anche qua:

http://www.dmf.unicatt.it/~degiova/down ... pense.html

[zorn1]

Mi pare che il punto sia stabilire se in analisi non standard il numero $|0,9bar|$

[zorn1]

Mi pare che il punto sia stabilire se in analisi non standard il numero $x=|0,bar9-1|$ sia zero oppure un infinitesimo.

Devo pensarci. Certo il fatto che si dimostri essere $AA n in NN, 0

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[zorn1]

Pensandoci, $RR$ è un sottocampo di $RR$* (fatta l'opportuna identificazione), quindi la differenza di due elementi di $RR$ appartiene a $RR$.
Banalmente $1 in RR$, bisogna provare che $0,bar9 in RR$.
Ma $0,bar9 = lim_n sum_(i=1)^n 9/10^i$ ovvero $0,bar9$ è limite di una successione di reali (addirittura di razionali), ed essendo $RR$ completo si ha $0,bar9 in RR$.

Ma allora anche la loro differenza è in $RR$, e con i metodi usuali allora si vede che tale differenza è zero, tanto in $RR$ quanto in $RR$*.
Perciò $0,bar9=1$.

[zorn1]

"Sergio":[quote="zorn"]Certo il fatto che si dimostri essere $AA n in NN, 0
Non conosco neanche un po' l'analisi non standard e quindi probabilmente sto per dirne... una delle mie, ma mi pare più rilevante qualcosa del tipo $x!=y <=> x-y!=0$.
Voglio dire che.... se qualcuno pensa che $0.bar(9)!=1$, potrebbe anche provare a scrivere $1-0.bar(9)$.
Credo verrebbe fuori un "mostro" del tipo: $0.bar(0)1$, ovvero un decimale con un periodo seguito da un antiperiodo.
Mai vista una cosa simile....
In altri termini (forse più seriamente) la "strana" differenza (meglio: diversità) tra $0.bar(9)$ e $1$ mi pare più una questione di notazione che di sostanza.[/quote]

Beh, in fondo in teoria degli insiemi si pensano certi mostri... prima tutto $omega$ e poi un altro oggetto dopo: così si costruisce l'ordinale successore di un ordinale limite. Quindi la tua idea non è comunque del tutto fuori luogo