Topologie deboli e forti in analisi funzionale

[Daniele Florian]

Sto iniziando a vedere ora alcuni concetti principali di analisi funzionale, in particolare il metodo che porta alla definizione di spazi spesso utilizzati come quelli di Sobolev.
In particolare però vorrei portare l' attenzione sul metodo generale che è alla base di tale metodo, ovvero:

se ho capito bene si tratta di fornire una giusta topologia sullo spazio di funzioni ammissibili tali da consentire
a) la continuità del funzionale
b) la compattezza dello spazio di funzioni.

Queste sono due richieste che vanno nel senso opposto, nel senso che, se abbiamo una topologia con tanti aperti è facile la continuità ma risulta più difficile trovare estratte convergenti, viceversa una topologia meno fine rende difficile la continuità.
Dunque cosa si fa? Si prende una topologia e una relativa definizione di convergenza che porta alla contionuità del funzionale e poi si completa lo spazio tramite classi di equivalenza e questo assicura l esistenza del limite..
sapete chiarirmi un pò questa idea anche perchè forse non l ho detta bene e vorrei chiarirmi meglio... grazie.

[dissonance]

Prova a dare un'occhiata qui:

perdere-continuita-indebolendo-la-topologia-t50709.html

e poi, se vuoi, anche qui:

post368040.html#p368040

[Fioravante Patrone1]

"Daniele Florian":se ho capito bene si tratta di fornire una giusta topologia sullo spazio di funzioni ammissibili tali da consentire
a) la continuità del funzionale
b) la compattezza dello spazio di funzioni.

Queste sono due richieste che vanno nel senso opposto

Hai capito bene.
Si tratta poi di vedere chi vince nel tiro alla fune. Una cosa che aiuta è che, per la minimizzazione, basta la semicontinuità inferiore.
E, guarda caso, la convessità da una mano alle topologie deboli. Chissà perché ci si occupa tanto di funzioni connesse e ammenicoli loro collegati...
E ovvio che il gioco vale la candela se poi alla fine si trovano risultati utili/piacevoli.