Topologia, metrica
Non capisco che differenza ci sia tra le metriche $d1$,$d2$,$doo$.
Risposte
Scusa l'ignoranza... sarebbero le metriche indotte dalle norme 1,2 e $infty$?
Esatto
Chiaramente se sei in spazi "grandi" le differenze sono difficilmente visualizzabili (tuttavia ci sono e sono importantissime).
Per visualizzare un po' le situazioni, mettiti in $RR^2$, tieni presenti le definizioni delle metriche e fai un disegnino delle sfere unitarie; ti accorgerai subito che sono parecchio diverse.
Per visualizzare un po' le situazioni, mettiti in $RR^2$, tieni presenti le definizioni delle metriche e fai un disegnino delle sfere unitarie; ti accorgerai subito che sono parecchio diverse.
Non so proprio cosa cambi tra quelle tre metriche...prima di vedere graficamente devo sapere cosa cambia 
Ah, non sai nemmeno le definizioni?
Se ci dicessi "dove" stai lavorando (in spazi di funzioni o in normali spazi vettoriali finito dimensionali?) potremmo esserti più utili.
Se ci dicessi "dove" stai lavorando (in spazi di funzioni o in normali spazi vettoriali finito dimensionali?) potremmo esserti più utili.
In $RR^n$
Prendo $x=(x_1,\ldots ,x_n) \in RR^n$; allora:
$||x||_1:=\sum_(i=1)^n|x_i| \quad$,
$||x||_2:=\{ \sum_(i=1)^n|x_i|^2\}^(1/2) \quad$,
$||x||_oo:=max\{ |x_1|,\ldots ,|x_n|\} \quad$.
Evidentemente la $||\cdot||_2$ è la classica norma euclidea in $RR^n$.
Ora specializzati le definizioni per $n=2$ e disegna le palle unitarie per capire le differenze.
Dopo aver fatto il disegno dovresti anche essere in grado di dimostrare che tutte queste norme sono equivalenti e perciò inducono la stessa topologia.
(Questa equivalenza è anche conseguenza di un importantissimo risultato sugli spazi normati finito-dimensionali, però si può provare senza ricorrere a questo "cannone".)
$||x||_1:=\sum_(i=1)^n|x_i| \quad$,
$||x||_2:=\{ \sum_(i=1)^n|x_i|^2\}^(1/2) \quad$,
$||x||_oo:=max\{ |x_1|,\ldots ,|x_n|\} \quad$.
Evidentemente la $||\cdot||_2$ è la classica norma euclidea in $RR^n$.
Ora specializzati le definizioni per $n=2$ e disegna le palle unitarie per capire le differenze.
Dopo aver fatto il disegno dovresti anche essere in grado di dimostrare che tutte queste norme sono equivalenti e perciò inducono la stessa topologia.
(Questa equivalenza è anche conseguenza di un importantissimo risultato sugli spazi normati finito-dimensionali, però si può provare senza ricorrere a questo "cannone".)
Ora però non saprei come disegnare delle palle con queste tre metriche...
Eddai, sù, un po' d'inventiva! 
Vabbe, la norma $2$ è l'usuale norma euclidea e la palla unitaria è la classica circonferenza.
Ora faccio io per la norma infinito e lascio a te la norma $1$.
Fissiamo $r=1$ e disegnamo $B_oo(o;1)$, ossia l'insieme degli $x=(x_1,x_2)$ tali che $||x||_oo=max\{|x_1|,|x_2|\}<1$.
Per le proprietà del massimo, la condizione $||x||_oo<1$ implica $|x_1|<1$ e $|x_2|<1$, ossia $-1< x_1 <1$ e $-1< x_2 <1$; inoltre, visto che ci sono i valori assoluti, possiamo ritenere $x_1,x_2>=0$ e poi simmetrizzare quanto otteuto rispetto ai due assi.
Scegliamo $x=(x_1,x_2)$ con $x_1,x_2>=0$ e distinguiamo i casi:
1) $x_1<=x_2$ (ossia il punto $x$ sta nel primo quadrante ed al di sopra della bisettrice): in tal caso $||x||_oo=x_2$ e si ha $||x||_oo<1$ se e solo se $0<=x_2<1$;
2) $x_2<=x_1$ (ossia il punto $x$ sta nel primo quadrante ed al di sotto della bisettrice): in tal caso $||x||_oo=x_1$ e si ha $||x||_oo<1$ se e solo se $0<=x_1<1$.
Le 1-2) ci dicono che la parte della palla $||x||_oo<1$ che sta nel primo quadrante ha la forma che segue:
[asvg]xmin=-2; xmax=2; ymin=-2; ymax=2;
axes(1,1,"labels",1,1,"grid");
fill="dodgerblue";
rect([0,0],[1,1]);
line([0,0],[2,2]);[/asvg]
Se simmetrizziamo il disegno rispetto agli assi otteniamo la palla $B_oo(o;1)$:
[asvg]xmin=-2; xmax=2; ymin=-2; ymax=2;
axes(1,1,"labels",1,1,"grid");
fill="dodgerblue";
rect([-1,-1],[1,1]);[/asvg]
Insomma $B_oo(o;1)$ è il quadrato di lato $2$ e centro $o:=(0,0)$ coi lati paralleli agli assi.
Per $B_1(o;1)$ il ragionamento è simile, ma più facile (praticamente si tratta di disegnare due grafici di funzione), ed alla fine dovresti ottenere un quadrato di lato $sqrt2$ con i vertici sugli assi.
Vabbe, la norma $2$ è l'usuale norma euclidea e la palla unitaria è la classica circonferenza.
Ora faccio io per la norma infinito e lascio a te la norma $1$.
Fissiamo $r=1$ e disegnamo $B_oo(o;1)$, ossia l'insieme degli $x=(x_1,x_2)$ tali che $||x||_oo=max\{|x_1|,|x_2|\}<1$.
Per le proprietà del massimo, la condizione $||x||_oo<1$ implica $|x_1|<1$ e $|x_2|<1$, ossia $-1< x_1 <1$ e $-1< x_2 <1$; inoltre, visto che ci sono i valori assoluti, possiamo ritenere $x_1,x_2>=0$ e poi simmetrizzare quanto otteuto rispetto ai due assi.
Scegliamo $x=(x_1,x_2)$ con $x_1,x_2>=0$ e distinguiamo i casi:
1) $x_1<=x_2$ (ossia il punto $x$ sta nel primo quadrante ed al di sopra della bisettrice): in tal caso $||x||_oo=x_2$ e si ha $||x||_oo<1$ se e solo se $0<=x_2<1$;
2) $x_2<=x_1$ (ossia il punto $x$ sta nel primo quadrante ed al di sotto della bisettrice): in tal caso $||x||_oo=x_1$ e si ha $||x||_oo<1$ se e solo se $0<=x_1<1$.
Le 1-2) ci dicono che la parte della palla $||x||_oo<1$ che sta nel primo quadrante ha la forma che segue:
[asvg]xmin=-2; xmax=2; ymin=-2; ymax=2;
axes(1,1,"labels",1,1,"grid");
fill="dodgerblue";
rect([0,0],[1,1]);
line([0,0],[2,2]);[/asvg]
Se simmetrizziamo il disegno rispetto agli assi otteniamo la palla $B_oo(o;1)$:
[asvg]xmin=-2; xmax=2; ymin=-2; ymax=2;
axes(1,1,"labels",1,1,"grid");
fill="dodgerblue";
rect([-1,-1],[1,1]);[/asvg]
Insomma $B_oo(o;1)$ è il quadrato di lato $2$ e centro $o:=(0,0)$ coi lati paralleli agli assi.
Per $B_1(o;1)$ il ragionamento è simile, ma più facile (praticamente si tratta di disegnare due grafici di funzione), ed alla fine dovresti ottenere un quadrato di lato $sqrt2$ con i vertici sugli assi.
Quindi utilizzando $||x||_1$ si ottiene che $B(0,1)$ è il quadrato di vertici $(0,1), (0,-1), (-1,0), (1,0)$ giusto?
Giusto, ma gradirei vedere come fai a dimostrarlo...
Beh...studio innanzitutto il primo quadrante: la palla è il luogo dei punti in cui x1+x2<1. Visto che siamo in $RR$ coincide con il luogo dei punti (x,y) tali che x+y<1 ovvero il triangolo di vertici (0,0) (0, 1) (1,0).
Simmetrizzando su tutto il piano ottengo la figura che ho descritto precedentemente.
Simmetrizzando su tutto il piano ottengo la figura che ho descritto precedentemente.
Bravo!
Grazie del grosso aiuto!
Prego.
E adesso, con la stessa tecnica, puoi disegnare la palla $B_p(o;1)$ indotta dalla norma $||x||_p:=\{|x_1|^p+|x_2|^p\}^(1/p)$ per qualunque $p>1$.
Disegnando ti accorgi come la palla $B_p(o;1)$ si deformi in maniera continua al crescere di $p$, passando dal quadrato "storto" $B_1(0;1)$ al cerchio $B_2(o;1)$ fino ad arrivare al quadrato $B_oo(o;1)$.
Anzi, sempre con la stessa tecnica puoi disegnare $B_p(o;1)$ anche per $0< p <1$: per tali esponenti la palla $B_p(o;1)$ perde una caratteristica geometrica importantissima, ovvero la convessità.
Infatti, ad esempio per $p=1/3$ trovi che $B_(1/3)(o;1)$ è la regione limitata che ha per frontiera la curva disegnata in rosso:
[asvg]xmin=-1; xmax=1;ymin=-1;ymax=1;
axes(1,1,"labels",0.5,0.5,"grid");
stroke="red";
plot("(1-x^(1/3))^3",0,1);
plot("-(1-x^(1/3))^3",0,1);
plot("(1-(-x)^(1/3))^3",-1,0);
plot("-(1-(-x)^(1/3))^3",-1,0);[/asvg]
N.B.
erò rimane ancora in sospeso l'equivalenza delle norme $||\cdot||_1,||\cdot||_2,||\cdot||_oo$.
E adesso, con la stessa tecnica, puoi disegnare la palla $B_p(o;1)$ indotta dalla norma $||x||_p:=\{|x_1|^p+|x_2|^p\}^(1/p)$ per qualunque $p>1$.
Disegnando ti accorgi come la palla $B_p(o;1)$ si deformi in maniera continua al crescere di $p$, passando dal quadrato "storto" $B_1(0;1)$ al cerchio $B_2(o;1)$ fino ad arrivare al quadrato $B_oo(o;1)$.
Anzi, sempre con la stessa tecnica puoi disegnare $B_p(o;1)$ anche per $0< p <1$: per tali esponenti la palla $B_p(o;1)$ perde una caratteristica geometrica importantissima, ovvero la convessità.
Infatti, ad esempio per $p=1/3$ trovi che $B_(1/3)(o;1)$ è la regione limitata che ha per frontiera la curva disegnata in rosso:
[asvg]xmin=-1; xmax=1;ymin=-1;ymax=1;
axes(1,1,"labels",0.5,0.5,"grid");
stroke="red";
plot("(1-x^(1/3))^3",0,1);
plot("-(1-x^(1/3))^3",0,1);
plot("(1-(-x)^(1/3))^3",-1,0);
plot("-(1-(-x)^(1/3))^3",-1,0);[/asvg]
N.B.
erò rimane ancora in sospeso l'equivalenza delle norme $||\cdot||_1,||\cdot||_2,||\cdot||_oo$.
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