Topologia: insieme aperto, chiuso, limitato
Buongiorno a tutti ho un problema con gli esercizi di topologia, o meglio finchè si tratta di definire il dominio di una funzione a due variabili e dire se tale insieme è aperto chiuso connesso limitato sono capace, il problema è che il mio professore da esercizi un po' diversi. Del tipo:
\[
A = \bigcap_{n = 1}^{+\infty} (-1/n;1/n)
\]
non so bene come muovermi, ma per iniziare ho delle domande:
1. il fatto che sia parentesi tonda e non quadrata ha significato in questo caso?
2. per infinito si intendono solo numero che vanno all'infinito positivamente?
3. mi verrebbe da dire che lo zero non è compreso in questa intersezione e nemmeno -1 e 1. ma sia $-1/n$ che $1/n$ vanno a 0.
ma non so che altro dire.
grazie per l'aiuto.
\[
A = \bigcap_{n = 1}^{+\infty} (-1/n;1/n)
\]
non so bene come muovermi, ma per iniziare ho delle domande:
1. il fatto che sia parentesi tonda e non quadrata ha significato in questo caso?
2. per infinito si intendono solo numero che vanno all'infinito positivamente?
3. mi verrebbe da dire che lo zero non è compreso in questa intersezione e nemmeno -1 e 1. ma sia $-1/n$ che $1/n$ vanno a 0.
ma non so che altro dire.
grazie per l'aiuto.
Risposte
"la u rovesciata", cioè il segno di intersezione, si indica con \(\bigcap\) (\bigcap). O tempora, o 2000!
L'intersezione di tutti gli intervalli aperti del tipo \(B_n = \left]-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right[\) mi sembra fatta dal solo singoletto \(\{0\}\). Infatti, se $\epsilon > 0$, esiste un $\bar n$ tale che $0 < \frac{1}{\bar n} < \epsilon$, sicché $\epsilon\notin B_{\bar n}$ (perché $A$ sta in $B_{\bar n}$ come sottoinsieme proprio).
Ci sono numeri negativi in $\mathbb N$?
Ti verrebbe da sbagliare
$0\in B_n$ per ogni $n\ge 1$, sicché $0\in A$, per definizione di intersezione.
L'intersezione di tutti gli intervalli aperti del tipo \(B_n = \left]-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right[\) mi sembra fatta dal solo singoletto \(\{0\}\). Infatti, se $\epsilon > 0$, esiste un $\bar n$ tale che $0 < \frac{1}{\bar n} < \epsilon$, sicché $\epsilon\notin B_{\bar n}$ (perché $A$ sta in $B_{\bar n}$ come sottoinsieme proprio).
per infinito si intendono solo numero che vanno all'infinito positivamente?
Ci sono numeri negativi in $\mathbb N$?
mi verrebbe da dire che lo zero non è compreso in questa intersezione
Ti verrebbe da sbagliare
$0\in B_n$ per ogni $n\ge 1$, sicché $0\in A$, per definizione di intersezione.
@Stanzi96: you may want to read about Nested Intervals Theorem.
"killing_buddha":
"la u rovesciata", cioè il segno di intersezione, si indica con \(\bigcap\) (\bigcap). O tempora, o 2000!
L'intersezione di tutti gli intervalli aperti del tipo \(B_n = \left]-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right[\) mi sembra fatta dal solo singoletto \(\{0\}\). Infatti, se $\epsilon > 0$, esiste un $\bar n$ tale che $0 < \frac{1}{\bar n} < \epsilon$, sicché $\epsilon\notin B_{\bar n}$ (perché $A$ sta in $B_{\bar n}$ come sottoinsieme proprio).
per infinito si intendono solo numero che vanno all'infinito positivamente?
Ci sono numeri negativi in $\mathbb N$?
mi verrebbe da dire che lo zero non è compreso in questa intersezione
Ti verrebbe da sbagliare
non capisco perchè 0 è parte dell'insieme di intersezione.
Ristudiandomi i teoremi e le definizioni so che:
1. l'intersezione finita o numerabile di insiemi chiusi è un'insieme chiuso (dovrebbe essere il mio caso).
2. l'unione finita di insieme di insiemi chiusi è ancora un insieme chiuso
3. l'intersezione finita di aperti è un'insieme aperto
4. l'unione finita o numerabile di aperti è ancora un aperto.
Quindi in teoria tu mi dici che l'intersezione di $1/n$ e $-1/n$ mi da il singoletto ${0}$. ecco non mi torna..nel senso io posso dividere quanto voglio ma non mi darà mai 0, e quindi come può essere formata l'intersezione da il solo numero 0? i due insiemi in soldoni ci si avvicinano infinitamente a 0, che quindi mi viene da dire sia un punto di accomulazione, ma non lo raggiungono mai. C'è qualcosa nelle definizioni che mi sfugge e non mi fa capire.
dico che entrambi gli insieme sono chiusi e quindi la loro intersezione è chiuso? ma non mi torna perchè se dovessi scrivere come intervalli i due insiemi direi che nè sono aperti nè sono chiusi, quindi l'uso del teorema non è valido.
Lascia stare chiuso/aperto per ora, fai confusione a livello più fondamentale di quello topologico, ovvero quello insiemistico, fai una cosa, scrivi esplicitamente il significato di ogni simbolo che compare nella formula, ti si dovrebbero chiarire di molto le idee, o almeno sappiamo esattamente cos'è che non ti è chiaro per potertelo spiegare meglio.
P. S. Il fatto che unioni di aperti sia aperto e interazioni di chiusi sia chiuso non vale sono per cose finite o numerabili, vale sempre.
P. S. Il fatto che unioni di aperti sia aperto e interazioni di chiusi sia chiuso non vale sono per cose finite o numerabili, vale sempre.
"Stanzi96":
non capisco perchè 0 è parte dell'insieme di intersezione.
Perché $x\in\bigcap X_i$ se e solo se $\forall i\in I : x\in X_i$.
Ristudiandomi i teoremi e le definizioni so che:
1. l'intersezione finita o numerabile di insiemi chiusi è un'insieme chiuso (dovrebbe essere il mio caso).
L'intersezione di un numero qualsiasi di chiusi è un chiuso.
3. l'intersezione finita di aperti è un'insieme aperto
Certo, e infatti è pieno di famiglie numerabili di aperti la cui intersezione è chiusa: ad esempio quella dell'OP.
4. l'unione finita o numerabile di aperti è ancora un aperto.
L'unione di un numero qualsiasi di aperti è un aperto.
C'è qualcosa nelle definizioni che mi sfugge e non mi fa capire.
sÌ, senza dubbio c'è
\[ A = \bigcap_{n = 1}^{+\infty} (-1/n;1/n) \]
Dici il significato esplicito di questa formula? $A = \bigcap_{n = 1}^{+\infty} (-1/n;1/n)$ : A è uguale a l'intersezione infinita (non sono sicura)che parte da n=1 degli insiemi -1/n e 1/n, con $-1/n$ e $1/n$ non inclusi però.. Ma non sono sicura, e mi rendo conto di aver faticato anche solo a cercare di capire i somboli..il fatto è che il professore ha dato per scontato certe cose che nel corso di analisi 1 non sono state nè viste nè riviste.
"otta96":
Lascia stare chiuso/aperto per ora, fai confusione a livello più fondamentale di quello topologico, ovvero quello insiemistico, fai una cosa, scrivi esplicitamente il significato di ogni simbolo che compare nella formula, ti si dovrebbero chiarire di molto le idee, o almeno sappiamo esattamente cos'è che non ti è chiaro per potertelo spiegare meglio.
P. S. Il fatto che unioni di aperti sia aperto e interazioni di chiusi sia chiuso non vale sono per cose finite o numerabili, vale sempre.
Dici il significato esplicito di questa formula? $A = \bigcap_{n = 1}^{+\infty} (-1/n;1/n)$ : A è uguale a l'intersezione infinita (non sono sicura)che parte da n=1 degli insiemi -1/n e 1/n, con $-1/n$ e $1/n$ non inclusi però.. Ma non sono sicura, e mi rendo conto di aver faticato anche solo a cercare di capire i somboli..il fatto è che il professore ha dato per scontato certe cose che nel corso di analisi 1 non sono state nè viste nè riviste.
Mèdita su queste due cose.
1. \(0\in A\);
2. Nessun altro elemento sta in \(A\).
Per dimostrare 1., si fa come ti ho detto: \(\forall n\in\mathbb N : 0\in B_n\) ("per ogni \(n\) in \(\mathbb N\), \(0\) è un elemento di \(B_n\)). Quindi \(0\in\bigcap_n B_n = A\).
Per dimostrare 2., supponi che \(|\alpha|\) sia maggiore di zero. Allora esiste un indice \(\bar n\) tale che per tutti gli \(m\ge \bar n\) si abbia \(B_m \cap \{\alpha\}=\varnothing\) (l'intersezione tra \(B_m\) e \(\{\alpha\}\) è vuota; equivalentemente, \(\alpha\notin B_m\); siccome \(A\subset B_m\), è evidente che anche \(A\cap \{\alpha\}=\varnothing\), cioè \(\alpha\notin A\).
1. \(0\in A\);
2. Nessun altro elemento sta in \(A\).
Per dimostrare 1., si fa come ti ho detto: \(\forall n\in\mathbb N : 0\in B_n\) ("per ogni \(n\) in \(\mathbb N\), \(0\) è un elemento di \(B_n\)). Quindi \(0\in\bigcap_n B_n = A\).
Per dimostrare 2., supponi che \(|\alpha|\) sia maggiore di zero. Allora esiste un indice \(\bar n\) tale che per tutti gli \(m\ge \bar n\) si abbia \(B_m \cap \{\alpha\}=\varnothing\) (l'intersezione tra \(B_m\) e \(\{\alpha\}\) è vuota; equivalentemente, \(\alpha\notin B_m\); siccome \(A\subset B_m\), è evidente che anche \(A\cap \{\alpha\}=\varnothing\), cioè \(\alpha\notin A\).
Quello che l'esercizio mi chiede è un'intersezione infinita di aperti. l'insieme $-1/n$ per n che parte da 1 e va ad infinito è un insieme aperto, idem per $1/n$. Giusto? quindi il teorema che io ho citato non serve a niente ora come ora, perchè il teorema mi direbbe che un'intersezione FINITA di aperti è un aperto ma non cita "intersezione infinita".
giusto?
giusto?
"Stanzi96":
Quello che l'esercizio mi chiede è un'intersezione infinita di aperti. l'insieme $-1/n$ per n che parte da 1 e va ad infinito è un insieme aperto, idem per $1/n$. Giusto? quindi il teorema che io ho citato non serve a niente ora come ora, perchè il teorema mi direbbe che un'intersezione FINITA di aperti è un aperto ma non cita "intersezione infinita".
giusto?
Pensa a quello che ti ho scritto; non ti serve altro.
("l'insieme $-1/n$" non ha senso: quello è un elemento di un insieme).
"killing_buddha":
Mèdita su queste due cose.
1. \(0\in A\);
2. Nessun altro elemento sta in \(A\).
Per dimostrare 1., si fa come ti ho detto: \(\forall n\in\mathbb N : 0\in B_n\) ("per ogni \(n\) in \(\mathbb N\), \(0\) è un elemento di \(B_n\)). Quindi \(0\in\bigcap_n B_n = A\).
Ho capito dove mi blocco, $B_n$ cosa è?? perchè boh l'unica cosa che mi viene in mente è che il limite delle due successioni "associate" è per entrambi 0, quindi l'elemento dell'intersezione è in effetti il solo 0.
il dimostrare l'unicità mi torna, è più intuitivo.
\( B_n = ]-\frac{1}{n},\frac{1}{n}[\)
"Stanzi96":
perchè boh l'unica cosa che mi viene in mente è che il limite delle due successioni "associate" è per entrambi 0, quindi l'elemento dell'intersezione è in effetti il solo 0.
Perché hai pensato ai limiti delle successioni $n \mapsto \frac{1}{n}$ e $n \mapsto -\frac{1}{n}$?
"Indrjo Dedej":
[quote="Stanzi96"]
perchè boh l'unica cosa che mi viene in mente è che il limite delle due successioni "associate" è per entrambi 0, quindi l'elemento dell'intersezione è in effetti il solo 0.
Perché hai pensato ai limiti delle successioni $n \mapsto \frac{1}{n}$ e $n \mapsto -\frac{1}{n}$?[/quote]
perchè non mi capacito come l'intersezione di due insieme a cui non appartiene lo 0 possa dare 0.
comunque con la tua spiegazione credo di aver capito.
Ti abbiamo ripetuto in almeno tre occasioni distinte che lo zero appartiene a tutti gli insiemi che stai intersecando. È evidente che o non leggi le risposte oppure non le capisci. Cosa non va quindi?
"killing_buddha":
Ti abbiamo ripetuto in almeno tre occasioni distinte che lo zero appartiene a tutti gli insiemi che stai intersecando. È evidente che o non leggi le risposte oppure non le capisci. Cosa non va quindi?
Ho letto non sai quante volte, evidentemente non capisco la dimostrazione. tutto qua
Evidentemente sei solo convinto, per qualche motivo segreto, che l'intervallo di estremi -1/n e 1/n non contenga lo zero.
Dovresti convincerti del contrario.
Dovresti convincerti del contrario.
@Stanzi96
La scrittura $(-1/n,1/n)$ è un intervallo cioè l'insieme dei numeri reali compresi tra $-1/n$ e $1/n$ ovvero $-1/n
Cordialmente, Alex
La scrittura $(-1/n,1/n)$ è un intervallo cioè l'insieme dei numeri reali compresi tra $-1/n$ e $1/n$ ovvero $-1/n
Cordialmente, Alex
Anche perché se lo fosse sarebbe chiuso.
E' una pessima idea studiare la topologia avendo delle lacune sulla notazione insiemistica. E' seconda nella lista, dopo fare bunjee-jumping senza corda.
E' una pessima idea studiare la topologia avendo delle lacune sulla notazione insiemistica. E' seconda nella lista, dopo fare bunjee-jumping senza corda.
"killing_buddha":
E' seconda nella lista, dopo fare bunjee-jumping senza corda.
Addirittura?
"killing_buddha":
E' seconda nella lista, dopo fare bunjee-jumping senza corda.
Sei fantastico, mi sono messo a ridere per 2 minuti buoni... Chi l'ha detto che la Matematica non è divertente?In realtà direi che nella lista ce ne sono prima diverse altre, tipo lanciarsi senza paracadute, tuffarsi/fare immersioni profonde nel mare mosso senza saper nuotare, ma l'idea c'è...
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