Topologia di Sorgenfrey

[compa90]

Buonasera. Devo verificare che la famiglia formata dalle unioni di intervalli chiusi a sinistra e aperti a destra definisce una topologia su i reali. Tale topologia prende il nome di topologia di Sorgenfrey.
Prima di iniziare la verifica, dovrei saper formalizzare in formule quanto scritto, è qui arriva il primo problema, cioè, non so se quanto segue rispecchia quello scritto sopra

Sia $\mathcal{A}=\{A_i\}_{i \in I}$ famiglia i cui elementi sono $A_i=\bigcup_{i \in I}[a_i,b_i)$. Poi l'insieme degli indici $I$ deve essere necessariamente infinito ?

Saluti.

[otta96]

L'insieme $I$ può essere anche finito, in pratica devi controllare che quella famiglia di intervalli è una base di una topologia.

[compa90]

Ciao, grazie per la risposta.

Il concetto di base ancora non l'ho visto, quindi, devo verificare che la famiglia è una topologia utilizzando la definizione.

Se l'insieme $I$ può essere anche finito, allora potrebbe essere del tipo $I=\{1,2,3,4\}$, quindi, gli elementi della famiglia dovrebbero essere $A_1, A_2,A_3,A_4$, con $A_1=[a_1,b_1)$,$A_2=[a_2,b_2)$,$A_3=[a_3,b_3)$, e $A_4=[a_4,b_4)$.

Corretto ?

[Lebesgue]

Per definizione, uno spazio topologico è una coppia $(X, \tau)$ dove $X$ è un insieme e $\tau$ è una famiglia di sottoinsiemi di $X$ che soddisfa 3 condizioni:

1) il vuoto e tutto lo spazio $X$ stanno in $\tau$
2) se $A,B \in \tau$ allora anche $A \cap B \in \tau$
3) Se $A_i \in \tau$ per ogni $i \in I$ (con $I$ insieme di indici, anche infinito), allora $\bigcup_(i \in I) A_i \in \tau$.

A quanto mi sembra di capire, nel tuo caso $\tau$ è la famiglia fatta da tutte le possibili unioni di intervalli della forma $[a,b)$. Verifichiamo che $\tau$ è una topologia:

1) il vuoto ci sta, in quanto lo ottengo facendo l'unione di zero elementi.
tutto lo spazio $\RR$ lo ottengo, ad esempio, prendendo $\bigcup_(n \in \NN) [-n,n)$.

2) siano $A,B \in \tau$. Per definizione, $A = \bigcup_(i \in I) [a_i,b_i)$ e $B=\bigcup_(j \in J) [c_j, d_j)$.
Dobbiamo controllare che $A \cap B$ stia ancora in $\tau$.
Proviamo a pensare con due soli intervalli, tipo chi può essere $[a,b) \cap [c,d)$? Lui è vuoto se $c >= b$ o se $d < a$, altrimenti è dato da $[max{a,c}, min{b,d})$ (prova a pensare intersecando tipo $[0,1) \cap [1/2, 2)$ ).
Dunque, $A\cap B$ o è vuoto, oppure è fatto comunque da unione di intervalli del tipo $[a,b)$, dunque sta ancora in $\tau$.

3) Infine, sia $(A_i)_(i \in I) \subset \tau$, allora ogni $A_i = \bigcup_(j \in J_i) [a_j^(i), b_j^i) $
Dunque $\bigcup_(i \in I) A_i = \bigcup_(i \in I) \bigcup_(j \in J_i) [a_j^(i), b_j^i) $ che per definizione sta in $\tau$, essendo unione di intervalli del tipo $[a,b)$.

[compa90]

@Lebesgue mannaggia a te non dovevi riportare la verifica Grazie comunque. La topologia di cui si sta parlando è la topologia di Sorgenfrey.

Le mie difficolta sono non tante nel verificare che essa è una topologia, ma più una questione di formalizzazione, mi spiego meglio.

1) Sia $\mathcal{A}$ famiglia, i suoi aperti, sono le unioni di intervalli chiusi a sinistra e aperti a destra, cioè sono del tipo $A_i \in \mathcal{A}$, dove $A_i=\bigcup_{i \in I} [a_i,b_i)$.
Ora è stato detto da @otta96 che questa è la formulazione corretta, però a mio avviso questa non lo è, perché l'indice $i$ che indica lo i-esimo aperto della famiglia, non deve essere lo stesso di quello utilizzato per fare le unioni, quindi, penso che sia più corretta questa $A_i=\bigcup_{k \in K}[a_k,b_k)$.

Poi ci sarebbe un'altro problema sul vuoto, ma questo lo voglio discutere dopo per non creare confusione.

Ciao

[Lebesgue]

@compa90 Sicuramente usare lo stesso indice $i \in I$ sia per indicare gli aperti $A_i$ della tua famiglia che per denotare l'insieme su cui variano gli indici dell'unione non poteva essere corretta, in quanto usi una stessa lettera per denotare due cose diverse (ma lo davo per scontato)
Infatti, non a caso, io ho scritto $A_i = \bigcup_(j \in J_i) [a_j^i, b_j^i)$, dove $J_i$ indica l'insieme degli indici degli intervalli dell'unione dell'elemento i-esimo $A_i$ della famiglia $\mathcal(A)$.

Per quanto concerne il vuoto, dato che, per definizione $\mathcal(A)$ è la famiglia degli insiemi fatti da unioni qualsiasi di intervalli del tipo $[a,b)$, puoi semplicemente scrivere:

$\emptyset = \bigcup_(j \in \emptyset) [a_j,b_j) $, ovvero indicizzi sull'insieme vuoto, dunque ti viene il vuoto.

[compa90]

Ora inizia ad essere tutto più chiaro @Lebsegue.

Quindi, io posso avere
\[1) I,J \ \text{finiti}, \ 2) I,J \ \text{infiniti}, \\
\ 3) I, J \ \text{finito e infinito rispettivamente}, \ 4) I, J \ \text{infinito e finito rispettivamente}\]

Ora a seconda del caso che si presenta si una data famiglia $\mathcal{A}$. Corretto ?

In riferimento al $\emptyset$; la famiglia $ \mathcal(A) $ è per definizione la famiglia fatta dalle unioni qualsiasi di intervalli del tipo $ [a,b) $, ora, per far "entrare" il vuoto nella famiglia $ \mathcal(A) $, devo scegliere l'insieme degli indici $ J_i $ in maniera opportuna. Corretto ?

[Lebesgue]

Ma $I$ e $J$ chi sono?
Io penso ti stai focalizzando e confondendo su cose veramente di linguaggio, neanche troppo di matematica.

Allora, tu hai $\mathcal(A)$ che è una famiglia di insiemi dove ogni elemento $A \in \mathcal(A)$ è una unione qualsiasi di intervalli della forma $[a,b)$.
Gli elementi di una famiglia li possiamo scrivere o per elenco, o tramite caratterizzazione.
Se scegliamo di scriverli enumerandoli/elencandoli, facciamo così:

Sia $\mathcal(A) = {A_i}_(i \in I)$, dove ogni $A_i$ è della forma $A_i = \bigcup_(j \in J_i) [a_j^i, b_j^i)$, in cui l'apice $i$ in $[a_j,b_j)$ sta solo ad indicare il fatto che mi sto riferendo al particolare insieme $A_i$ con $i$ fissato.

Dato che $\mathcal(A)$ è la famiglia delle unioni qualsiasi di intervalli $[a,b)$, necessariamente $I$ (l'insieme degli indici su cui sono indicizzati gli elementi di tale famiglia) è infinito.
Se tali indici $I$ fossero finiti, ad esempio fossero solamente due $I = {i_1,i_2}$, allora non avresti tutte le possibili unioni cercate, ma ne avresti solo 2.
Volendo, possiamo rimuovere tale indice $I$ (che hai messo tu, e serve per enumerare gli elementi della famgilia $\mathcal(A)$, ma non è strettamente necessario), scrivendo gli elementi della famiglia tramite caratterizzazione.

$\mathcal(A) = {A : A = \bigcup_(j \in J) [a_j,b_j) }$,

dove $J$, ovvero l'insieme degli indici di un singolo elemento della famiglia, può essere: finito o infinito, dato che devi avere le unioni qualsiasi di intervalli $[a.b)$.
Cioè gli elementi della famiglia sono fatti da unioni di intervalli della forma $[a,b)$.

Dovendo avere tali unioni qualsiasi, $J$ può essere qualsiasi e, dunque, può anche essere $J = \emptyset$.
Prendendo appunto $J = \emptyset$, vuol dire che hai un elemento $A$ nella tua famiglia $\mathcal(A)$ della forma: $A = \bigcup_(j \in \emptyset) [a_j,b_j)$.
Ora, cosa significa fare l'unione sull'insieme vuoto? Vuol dire che non sto prendendo niente, ovvero $A = \emptyset$, dunque $\emptyset \in \mathcal(A)$ come voluto.

Ora è un po' più chiaro?

[compa90]

Si ora è chiaro, grazie per la pazienza !! L'ho scritto nel messaggio iniziale che avevo difficolta nel formalizzare, comunque, $ I $, $ J $ insieme degli indici.

Ora passiamo ad $RR$. Per definizione $RR$ è l'unione di tutti i suoi intervalli aperti $(a,b)$, quindi, se volessi tradurre questo in formule, scriverei cosi $RR=\bigcup_{j \in J}(a_j,b_j)$, dove l'insieme $J$ è l'insieme degli indici, il quale può essere finito o infinito. Giusto ?

[Lebesgue]

"compa90":
Ora passiamo ad $RR$. Per definizione $RR$ è l'unione di tutti i suoi intervalli aperti $(a,b)$, quindi, se volessi tradurre questo in formule, scriverei cosi $RR=\bigcup_{j \in J}(a_j,b_j)$, dove l'insieme $J$ è l'insieme degli indici, il quale può essere finito o infinito. Giusto ?

Scritto così non ha senso, perché non specifichi chi sia $J$.
Devi scrivere $RR$ in modo esplicito.
Un esempio te l'ho fatto nella prima risposta: $RR = \bigcup_(n \in NN) [-n,n)$, ma ne puoi benissimo prendere altri.

[compa90]

Buongiorno, lasciando per un attimo in sospeso la verifica che $RR$ è un aperto della topologia di Sorgenfrey.
I punti, o simboli $\pm \infty$ li devo guardare come punti, o simboli di $RR$, tenendo conto che sulle mie dispense c'è scritto che $RR$ è l'unione di tutti gli intervalli aperti di $RR$.

A mio avviso, i simboli $\pm \infty$, devono essere compresi, perché questi sono intervalli aperti $(-\infty, -40) $, $(-infty,+infty)$ , oppure $(67, 90) $ e così via. Giusto?

[Lebesgue]

$RR$ è unione di tutti gli intervalli aperti rispetto la topologia che stai considerando in quel momento.
Se consideriamo la topologia euclidea (quella standard di $RR$ che si usa anche in analisi 1, per capirsi), lì gli aperti sono intervalli del tipo $(0,1), (-1,3), (a,b)$ e quindi $RR$ è unione di tutti intervalli che sono aperti nella topologia euclidea, ad esempio $RR = \bigcup_(n \in NN) (-n,n)$.
Rispetto la topologia di sorgenfrey, gli intervalli del tipo $(0,1)$ NON sono aperti, in quanto, per la topologia di Sorgenfrey, gli aperti sono robe del tipo $[0,1)$, loro unioni qualsiasi o loro intersezioni finite.
Intervalli del tipo $(-\infty, 4)$ sono invece aperti anche nella topologia di Sorgenfrey, in quanto li puoi ottenere come unione di aperti di Sorgenfrey: $(-\infty, 4) = \bigcup_(n \in NN) [-n,4) $ e, per definzione di topologia, una unione qualsiasi di aperti della topologia è ancora aperta nella topologia.

Per farti un altro esempio: l'intervallo $[0, +\infty)$ è un chiuso nella topologia euclidea su $\RR$, mentre rispetto la topologia di Sorgenfrey è un aperto, in quanto $[0, +\infty) = \bigcup_(n \in NN) [0, n)$ lo posso scrivere come unione di aperti di Sorgenfrey.

Per quanto riguarda gli infiniti, non ho capito il tuo dubbio.
In realtà, penso che hai bisogno di rivederti bene la teoria e/o gli esempi fatti a lezione, se non ancora meglio chiedere un ricevimento al docente, perché hai dei dubbi che penso, se spiegati a voce, siano più comprensibili rispetto allo scriverli. (oltre al fatto che in realtà vedo un po' di confusione proprio sui concetti iniziali della topologia, quindi ripartire da zero dalla teoria non sarebbe male)

[compa90]

Ho iniziato a studiare da solo topologia da circa 15 giorni, quindi, sono all'inizio. Mi è chiaro quando scrivi che la proprietà di essere chiuso o aperto su un insieme dipende dalla topologia che si è definito sull'insieme stesso. Ad esempio, sono aperti nella topologia naturale in $RR$, anche i seguenti

$\{x \in RR \: \ x

Per il mio dubbio riguardante i simboli $\pm \infty$, ti scrivo quello che ho sulle dispense Si consideri la famiglia $\mathcal{A}$ delle unioni di intervalli aperti, senza provarlo, tale famiglia è una topologia, quindi, in particolare, deve contenere il sostegno, cioè $RR$. Sempre sulle dispense c'è scritto
$RR$ è un elemento della topologia, in quanto è unione di tutti i suoi intervalli aperti
dunque, io lo immagino così $RR=\bigcup_{i \in I} (a_i,b_i)$, dove $I$ insieme degli indici, il quale può essere finito, o infinito, esempio $I=NN$. Ora mi chiedo, e ti chiedo , tra questi, $a_i,b_i$ vi è $\pm infty$ ?

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[otta96]

$+\infty$ e $-\infty$ non appartengono a $RR$, dovresti saperlo.

[Lebesgue]

Per definizione, la topologia euclidea su $RR$ è generata da aperti del tipo $(a,b)$, dove $a < b$ e $a,b \in RR$.
Dato che $\pm \infty$ non appartengono ad $RR$, la definizione ti dà già la risposta.

Un modo molto naive per scrivere $RR$ nella topologia euclidea è: $\bigcup_(a,b \in RR; \ a

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[compa90]

@otta96 grazie.
@Lebesgue quella che ho riportato io va bene, cioè questa $ RR=\bigcup_{i \in NN} (a_i,b_i) $ ? se no rimango in un limbo
Se volessi considerare l'insieme degli indici finito, ad esempio, $I=\{1,2\}$, allora $RR=(a_1,b_1)\cup(a_2,b_2)$, però questa scrittura mi sembra a dir poco, priva di significato se non aggiungo delle informazioni sugli estremi dell'intervallo, mi spiego con un esempio, se prendessi, $a_1=-1000,b_1=0, a_2=0,b_2=1000$, allora gli elementi di $S=\{x \in RR\:\ x\le 1000,\ x=0, x\ge 1000\}$ non sono elementi dell'insieme a destra, dove sbaglio ?

Scusatemi se faccio troppe domande, ma non ho aiuti da nessuno.

[Lebesgue]

Ovviamente quella scrittura non è corretta. Chi sono $a_i, b_i$? Come ti ho già detto altre due volte, devi cercare di scrivere $RR$ in modo esplicito, ovvero specificando esplicitamente i tuoi intervalli che scegli come unione.

Mentre, per quanto riguarda l'insieme vuoto, scrivere $\emptyset = \bigcup_(i \in \emptyset) (a_i,b_i)$ va bene a priori della scelta di $a_i,b_i$, perché, a prescindere da chi scelgo come elementi dell'intervallo, dato che sto facendo l'unione sull'insieme vuoto, questo verrà sempre vuoto.

In ogni caso, un buon libro di topologia è quello di Manetti "topologia"

[compa90]

Buongiorno.
Gli intervalli aperti di $RR$ sono sottoinsieme di $RR$ del tipo $(a_i,b_i)=\{x \in RR\:\ a_i A prescindere dalla natura di $I$ faccio queste posizioni
1) $a_i 2) $a_j
La prima mi dovrebbe garantire di non ritrovarmi con intervalli degeneri, invece, la seconda mi dovrebbe garantire che l'unione è priva di buchi. Sono sulla strada giusta ?

[megas_archon]

"compa90":Buongiorno.
Gli intervalli aperti di $RR$ sono sottoinsieme di $RR$ del tipo $(a_i,b_i)=\{x \in RR\:\ a_i A prescindere dalla natura di $I$ faccio queste posizioni
1) $a_i 2) $a_j Ti è stato già detto che a non esserti chiara non è la topologia di Sorgenfrey, ma il linguaggio di base. Non puoi fare queste posizioni "a prescindere dalla natura di $I$", perché è unicamente la natura di $I$ e delle famiglie \(a_i,b_i\) a rendere vero o falso che \([a_i,b_i)\) forma o no un ricoprimento di $RR$. E' vero per certe scelte, ma queste scelte vanno fatte, le variabili di una formula vanno saturate in dei termini costanti espliciti.

[Lebesgue]

Ti faccio questo controesempio: se non espliciti chi sono $a,b$, tu stai dicendo che vale anche questa cosa: (mettiamoci sempre nel caso della topologia euclidea, che NON è quella "naturale" su $RR$, non c'è una topologia naturale su $RR$)

Per come stai dicendo tu le cose, vale anche che: $RR = \bigcup_(n \in NN) (0,1)$.
Ora, domanda, chi è $\bigcup_(n \in NN) (0,1)$? E' vero che ti dà tutto $RR$?