Topologia dello spazio di Schwartz

[sméagol1]

Spazio di Schwartz: Def. se \(f \in C^{\infty}\mathbb{R}^{n}\) deve valere per ogni \(N=1,2,...\) che
\[
\sup_{|\alpha|\leq N}\sup_{\mathbb{R}^{n}}(1+|x|^{2})^{N}|(D_{\alpha}f)(x)|<\infty
\]
Se fissato \(\beta\) esiste \(N\) tale che \(|x^{\beta}|\leq (1+|x|)^{N}\) per ogni \(x\) allora abbiamo per ogni \(x,\alpha\) che
\begin{split}
|x^{\beta}||(D_{\alpha}f)(x)|
&=|x^{\beta}(D_{\alpha}f)(x)| \\
&\leq (1+|x|^{2})^{N}|(D_{\alpha}f)(x)| \\
\sup_{\mathbb{R}^{n}}|x^{\beta}(D_{\alpha}f)(x)|
&\leq \sup_{\mathbb{R}^{n}}(1+|x|^{2})^{N}|(D_{\alpha}f)(x)|
\end{split}
quindi la precedente vale per ogni \(\alpha,\beta\) ed ottengo la formula solita.

Data la famiglia di norme
\[
||f||_{p}=\left \{\int_{\mathbb{R}^{n}}|f|^{p}\right \}^{1/p}
\]
queste rendono \(\mathcal{S}\mathbb{R}^{n}\) uno spazio topologico: gli insiemi della forma \(f\) tale che \(||f||_{p}<1/p\) formano una subbase. So che a volte è data solamente una nozione di convergenza basata sulla definizione ricavata sopra. Come si conciliano le due? Data la definizione della topologia di \(\mathcal{S}\mathbb{R}^{n}\), vale \(\mathcal{S}\mathbb{R}^{n}\subset L^{p}\mathbb{R}^{n}\)?

[sméagol1]

Ecco perché non torna niente, perché non sono \(||\cdot||_{p}\) le norme da utilizzare, ma quelle della definizione al variare di \(N\).

[sméagol1]

Qualche info su come si mostra la densità di \(\mathscr{S}\mathbb{R}^{n}\) in \(L^{2}\mathbb{R}^{n}\)? Con \(L^{1}\mathbb{R}^{n}\) è chiaro perché si ha \(\mathcal{D}\mathbb{R}^{n}\subset \mathscr{S}\mathbb{R}^{n}\subset L^{1}\mathbb{R}^{n}\) ed il primo è denso nell'ultimo; so anche che il primo è denso nel secondo. Che valga quanto detto prima con \(2\) al posto di \(1\)?