Topologia base

[Jeronimus]

Siano $A = {(x, y) ∈ RR^2 : y = αx, α ∈ RR - QQ, |x| + |y| < 1}$ e $B = {(x, y) ∈ R^2 : y = r x, r ∈ QQ}$.

Determinare, rispetto alla metrica euclidea, l’interno, la chiusura e la chiusura dell’interno di $A ∪ B$.

Allora, so che per risolvere questo genere di esercizi bisognerebbe fare un disegnino, ma è proprio qui che incontro difficoltà. Se non sbaglio la condizione $|x| + |y| < 1$ solitamente si traduce come un quadrato di semilato unitario (correggetemi se sbaglio) ma qui $y = alphax$ con $a$ irrazionale... come si procede in questo tipo di esercizi?

Grazie mille in anticipo....

[dissonance]

È l'equazione di una retta.

[Jeronimus]

Intanto grazie mille per la risposta... avevo intuito si trattasse di una retta quello che mi crea dubbi è cosa dovrebbe uscire quando vado effettivamente a disegnare l'insieme...
Non so proprio come riportare sul grafico

[dissonance]

Comincia con l'insieme $B$. Prendi per esempio $r=2$ e disegna quello. È più semplice di quello che immagini ed è per questo che ti stai confondendo

[Jeronimus]

So che mi perdo in un bicchier d'acqua ma questa tipologia di esercizi (che tende a uscire spesso all'esame) mi crea sempre un sacco di dubbi...
Allora, l'insieme B è costituito dal fascio di rette con coefficente razionale passanti per l'origine.
L'insieme A si può riscrivere come:

${(x + y < 1) , (x + y > -1):}$

quindi sarebbe un fascio di rette con coefficente irrazionale passanti per l'origine ma all'interno di un quadrato di raggio 1 intorno all'origine?
Per intenderci:

[dissonance]

Non si vede l'immagine, comunque si, il quadrato è "storto", con i vertici nei punti $(1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)$. C'è poi il fascio di rette di centro l'origine e pendenza irrazionale, che in effetti è una cosa indisegnabile che riempie quasi tutto il quadrato. Tuttavia non lo riempie proprio tutto: per esempio, il punto $(1,0)$ non appartiene al fascio.

[Jeronimus]

Ok, però una volta che faccio l'unione il quadrato è "riempito" mentre al suo esterno ci sono solo le rette con coefficente razionale. Quindi il quadrato è l'insieme interno, e il derivato è l'unione stessa (così come la chiusura). Infatti qualunque punto io prenda, sia su una retta che nel quadrato, tutti i suoi intorni contengono almeno un altro punto appartenente all'insieme.