Tirare fuori la "derivazione" dall'integrale
Ciao a tutti.
Se io scrivo $int_(\tau_0)^\tau (d^2x(t))/dt^2dt=d/dt int_(\tau_0)^\tau (dx(t))/dtdt$
che significato ha quest'operazione? Inoltre come si può dimostrare?
Se io scrivo $int_(\tau_0)^\tau (d^2x(t))/dt^2dt=d/dt int_(\tau_0)^\tau (dx(t))/dtdt$
che significato ha quest'operazione? Inoltre come si può dimostrare?
Risposte
Quella notazione è incompleta: su cosa stai integrando quelle funzioni? \(dt\)?
Si scusa, è integrato in $dt$, ho corretto
up
Come già evidenziato di vict il ruolo delle variabili non è chiaro. La scrittura indefinita \(\int f(x) dx\) è tanto comoda quanto, in certi contesti come questo, inutile.
Potremmo provare a sistemare così:
\[\int_{\tau_0}^{\tau} \ddot{x}(t) dt\]
Ma la relazione che hai scritto risulterebbe falsa, innanzi tutto perchè:
\[\frac{d}{dt} \int_{\tau_0}^{\tau} \dot{x}(t) dt = \frac{d}{dt} G(\tau) = 0\]
Per scrivere qualcosa di sensato si potrebbe fare così:
\[\int_{\tau_0}^{\tau} \ddot{x}(t) dt = \frac{d}{d\tau} \left[ \int_{\tau_0}^{\tau} \dot{x}(t) dt \right]- \dot{x}(\tau_0) \]
dato che si avrebbe:
\[\int_{\tau_0}^{\tau} \ddot{x}(t) dt = \dot{x}(\tau) - \dot{x}(\tau_0)\]
\[\frac{d}{d\tau} \left[ \int_{\tau_0}^{\tau} \dot{x}(t) dt \right]- \dot{x}(\tau_0) = \frac{d}{d\tau} \left[ x(\tau) - x(\tau_0) \right] - \dot{x}(\tau_0) = \dot{x}(\tau) - \dot{x}(\tau_0)\]
Ovviamente il tutto dando per scontato che vi siano le ipotesi di regolarità per applicare il teorema fondamentale del calcolo.
Potremmo provare a sistemare così:
\[\int_{\tau_0}^{\tau} \ddot{x}(t) dt\]
Ma la relazione che hai scritto risulterebbe falsa, innanzi tutto perchè:
\[\frac{d}{dt} \int_{\tau_0}^{\tau} \dot{x}(t) dt = \frac{d}{dt} G(\tau) = 0\]
Per scrivere qualcosa di sensato si potrebbe fare così:
\[\int_{\tau_0}^{\tau} \ddot{x}(t) dt = \frac{d}{d\tau} \left[ \int_{\tau_0}^{\tau} \dot{x}(t) dt \right]- \dot{x}(\tau_0) \]
dato che si avrebbe:
\[\int_{\tau_0}^{\tau} \ddot{x}(t) dt = \dot{x}(\tau) - \dot{x}(\tau_0)\]
\[\frac{d}{d\tau} \left[ \int_{\tau_0}^{\tau} \dot{x}(t) dt \right]- \dot{x}(\tau_0) = \frac{d}{d\tau} \left[ x(\tau) - x(\tau_0) \right] - \dot{x}(\tau_0) = \dot{x}(\tau) - \dot{x}(\tau_0)\]
Ovviamente il tutto dando per scontato che vi siano le ipotesi di regolarità per applicare il teorema fondamentale del calcolo.
L'intervallo non può dipendere dalla variabile di integrazione, che per altro è una variabile muta.
Definendo \(G(\tau) = \int_{\tau_0}^{\tau} \dot{x}(t)dt\), $G$ non dipende da $t$ quindi la sua derivata in $t$ è nulla.
Ma stiamo confinando del terreno delle convenzioni e del formalismo per niente.
Insomma, basta che non chiami allo stesso modo le variabili di integrazione e quelle dell'intervallo. Possiamo anche scrivere così scambiando i nomi:
\[ \int_{t_0}^{t} \ddot{x}(\tau) d\tau = \frac{d}{dt} \left[ \int_{t_0}^{t} \dot{x}(\tau) d\tau \right]- \dot{x}(t_0) \]
EDIT È un problema di consistenza, dentro l'integrale la variabile la chiami in un modo, fuori in un altro, devi sempre derivare rispetto alla variabile giusta rispetto al contesto in cui ti trovi. Poi qui $x$ è funzione di solo una variabile e quindi si potrebbe capire anche chiamandole tutte allo stesso modo, ma essere precisi è fondamentale se le variabili in gioco sono di più.
Definendo \(G(\tau) = \int_{\tau_0}^{\tau} \dot{x}(t)dt\), $G$ non dipende da $t$ quindi la sua derivata in $t$ è nulla.
Ma stiamo confinando del terreno delle convenzioni e del formalismo per niente.
Insomma, basta che non chiami allo stesso modo le variabili di integrazione e quelle dell'intervallo. Possiamo anche scrivere così scambiando i nomi:
\[ \int_{t_0}^{t} \ddot{x}(\tau) d\tau = \frac{d}{dt} \left[ \int_{t_0}^{t} \dot{x}(\tau) d\tau \right]- \dot{x}(t_0) \]
EDIT È un problema di consistenza, dentro l'integrale la variabile la chiami in un modo, fuori in un altro, devi sempre derivare rispetto alla variabile giusta rispetto al contesto in cui ti trovi. Poi qui $x$ è funzione di solo una variabile e quindi si potrebbe capire anche chiamandole tutte allo stesso modo, ma essere precisi è fondamentale se le variabili in gioco sono di più.
Ho sistemato la domanda, spero sia corretta adesso.
Perchè è uguale a zero?
Nell'integrale di sinistra ho, in termini fisici, l'accelerazione $ddot x$, che integrata restituisce la velocità $dot x$.
Nell'integrale di destra ho la velocità, che integrata restituisce lo spazio $x$, il quale, derivato poi rispetto al tempo, mi dà di nuovo la velocità $dot x$.
Pertanto l'uguaglianza è corretta.
Vorrei però sapere come si può dimostrare in termini generici. Ho riportato questa uguaglianza come un esempio di riferimento, ma si può fare anche con altri integrali. Nelle dispense di fisica generale è pieno di esempi come questo, ma non capisco come si dimostri dal punto di vista matematico. C'è forse qualche teorema che mi sfugge?
"Emar":
Ma la relazione che hai scritto risulterebbe falsa, innanzi tutto perchè:
\[ \frac{d}{dt} \int_{\tau_0}^{\tau} \dot{x}(t) dt = \frac{d}{dt} G(\tau) = 0 \]
Perchè è uguale a zero?
"Dany_95":
$ int_(\tau_0)^\tau (d^2x(t))/dt^2dt=d/dt int_(\tau_0)^\tau (dx(t))/dtdt $
Nell'integrale di sinistra ho, in termini fisici, l'accelerazione $ddot x$, che integrata restituisce la velocità $dot x$.
Nell'integrale di destra ho la velocità, che integrata restituisce lo spazio $x$, il quale, derivato poi rispetto al tempo, mi dà di nuovo la velocità $dot x$.
Pertanto l'uguaglianza è corretta.
Vorrei però sapere come si può dimostrare in termini generici. Ho riportato questa uguaglianza come un esempio di riferimento, ma si può fare anche con altri integrali. Nelle dispense di fisica generale è pieno di esempi come questo, ma non capisco come si dimostri dal punto di vista matematico. C'è forse qualche teorema che mi sfugge?
Nomi di variabili a parte, come ho fatto notare sopra nel mio primo post, la formula manca di un termine affinché sia corretta (matematicamente, fisicamente, o in qualsiasi altro modo):
Dal primo membro infatti ottieni, applicando il TFC:
\[ \int_{t_0}^{t} \ddot{x}(\tau) d\tau = \dot{x}(t) - \dot{x}(t_0) \]
mentre da secondo membro ottieni, sempre applicando il TFC:
\[ \frac{d}{dt} \left[ \int_{t_0}^{t} \dot{x}(\tau) d\tau \right] = \frac{d}{dt} \left[ x(t) - x(t_0) \right] = \dot{x}(t) \]
dato che la derivata di un numero è nulla.
Affinché il membro a sinistra e quello a destra siano uguali devi correggere così:
\[ \int_{t_0}^{t} \ddot{x}(\tau) d\tau = \frac{d}{dt} \left[ \int_{t_0}^{t} \dot{x}(\tau) d\tau \right] - \dot{x}(t_0)\]
Questa è una dimostrazione, ovviamente sotto ipotesi di regolarità sufficienti.
__________________________
È vero poi che la notazione di Leibniz che usi porta con se un ulteriore equivoco (non è certo colpa tua!) che con altre notazioni come \(\dot{x}\) o \(x'\) non si presenta.
Definendo $ (dx)/(dt)$ come la funzione derivata e non come l'operatore di derivata applicato alla funzione, si potrebbe scrivere anche:
\[ \int_{t_0}^t \frac{d^2x}{dt^2}(\tau) d\tau=\frac{d}{dt} \int_{t_0}^t \frac{dx}{dt}(\tau) d\tau - \frac{dx}{dt}(t_0)\]
Dal primo membro infatti ottieni, applicando il TFC:
\[ \int_{t_0}^{t} \ddot{x}(\tau) d\tau = \dot{x}(t) - \dot{x}(t_0) \]
mentre da secondo membro ottieni, sempre applicando il TFC:
\[ \frac{d}{dt} \left[ \int_{t_0}^{t} \dot{x}(\tau) d\tau \right] = \frac{d}{dt} \left[ x(t) - x(t_0) \right] = \dot{x}(t) \]
dato che la derivata di un numero è nulla.
Affinché il membro a sinistra e quello a destra siano uguali devi correggere così:
\[ \int_{t_0}^{t} \ddot{x}(\tau) d\tau = \frac{d}{dt} \left[ \int_{t_0}^{t} \dot{x}(\tau) d\tau \right] - \dot{x}(t_0)\]
Questa è una dimostrazione, ovviamente sotto ipotesi di regolarità sufficienti.
__________________________
È vero poi che la notazione di Leibniz che usi porta con se un ulteriore equivoco (non è certo colpa tua!) che con altre notazioni come \(\dot{x}\) o \(x'\) non si presenta.
Definendo $ (dx)/(dt)$ come la funzione derivata e non come l'operatore di derivata applicato alla funzione, si potrebbe scrivere anche:
\[ \int_{t_0}^t \frac{d^2x}{dt^2}(\tau) d\tau=\frac{d}{dt} \int_{t_0}^t \frac{dx}{dt}(\tau) d\tau - \frac{dx}{dt}(t_0)\]
Ti ringazio per la pazienza, ora mi è chiaro 
Di niente! Ho modificato in parte con un commento sulla notazione di Leibniz che penso sia un'altra fonte di confusione. 
P.S. Dato che in questa uguaglianza:
hai posto $dot x(t_0)$ è nulla, nell'ultima uguaglianza:
non ci si dovrebbe ricondurre all'uguaglianza proposta inizialmente, considerando $dot x(t_0)=0$?
"Emar":
\[ \frac{d}{dt} \left[ \int_{t_0}^{t} \dot{x}(\tau) d\tau \right] = \frac{d}{dt} \left[ x(t) - x(t_0) \right] = \dot{x}(t) \]
dato che la derivata di un numero è nulla.
hai posto $dot x(t_0)$ è nulla, nell'ultima uguaglianza:
"Emar":
Affinché il membro a sinistra e quello a destra siano uguali devi correggere così:
\[ \int_{t_0}^{t} \ddot{x}(\tau) d\tau = \frac{d}{dt} \left[ \int_{t_0}^{t} \dot{x}(\tau) d\tau \right] - \dot{x}(t_0) \]
non ci si dovrebbe ricondurre all'uguaglianza proposta inizialmente, considerando $dot x(t_0)=0$?
Ti stai perdendo in un bicchier d'aqua per delle stupide convenzioni. Tagliamo la testa al toro, data la funzione \(x(t)\) definiamo le funzioni \(v(t) = \dot{x}(t) = \frac{dx}{dt}(t)\) e \(a(t) = \ddot{x}(t) = \frac{d^2x}{dt^2}(t) = \dot{v}(t) = \frac{dv}{dt}(t)\).
Fatto ciò passiamo a scrivere la nostra relazione:
\[ \int_{t_0}^{t} a(\tau) d\tau = \frac{d}{dt} \left[ \int_{t_0}^{t} v(\tau) d\tau \right] - v(t_0) \]
Il primo membro siamo d'accordo sia uguale a: $v(t) - v(t_0)$.
Nel secondo abbiamo: \(\frac{d}{dt} \left[x(t) - x(t_0) \right]\)
Il primo termine tra parentesi è la funzione valutata in $t$, la nostra variabile, il secondo termine è la funzione valutata in $t_0$, che è un numero! Quindi si ha: \(\frac{d}{dt} \left[x(t) - x(t_0) \right] = v(t) \)
Ed ecco il perché della correzione
Ghe semo?
Fatto ciò passiamo a scrivere la nostra relazione:
\[ \int_{t_0}^{t} a(\tau) d\tau = \frac{d}{dt} \left[ \int_{t_0}^{t} v(\tau) d\tau \right] - v(t_0) \]
Il primo membro siamo d'accordo sia uguale a: $v(t) - v(t_0)$.
Nel secondo abbiamo: \(\frac{d}{dt} \left[x(t) - x(t_0) \right]\)
Il primo termine tra parentesi è la funzione valutata in $t$, la nostra variabile, il secondo termine è la funzione valutata in $t_0$, che è un numero! Quindi si ha: \(\frac{d}{dt} \left[x(t) - x(t_0) \right] = v(t) \)
Ed ecco il perché della correzione
Ghe semo?
Ci sono con la tua spiegazione, ma allora non capisco perchè nelle dispense di fisica non trovo mai quel termine correttivo (in questo caso $v(t_0)$)di cui parli. Ti riporto un esempio di dimostrazione di fisica che ho postato su un altro topic, tratto direttamente da quelle dispense viewtopic.php?f=19&t=149132. Lascia perdere la richiesta che ho fatto, guarda come vengono impostati gli integrali...$d/(dt)$ viene tirato fuori, ma nessun altro termine viene aggiunto.
"Dany_95":
Ti riporto un esempio di dimostrazione di fisica che ho postato su un altro topic, tratto direttamente da quelle dispense viewtopic.php?f=19&t=149132. Lascia perdere la richiesta che ho fatto, guarda come vengono impostati gli integrali...$d/(dt)$ viene tirato fuori, ma nessun altro termine viene aggiunto.
Ma qui l'integrale non è rispetto al tempo ma rispetto allo spazio!
Sta cosa mi sta mettendo veramente in crisi 
Ma in fin dei conti:
1)Posso tirare fuori dall'integrale la "derivazione" rispetto al tempo come se fosse una costante?
2)E se integro rispetto al tempo devo mettere anche il termine correttivo?
3)E se integro rispetto ad una variabile diversa rispetto al tempo, non devo applicare nessuna correzione? Perchè?
Ti prego non uccidermi
Ma in fin dei conti:1)Posso tirare fuori dall'integrale la "derivazione" rispetto al tempo come se fosse una costante?
2)E se integro rispetto al tempo devo mettere anche il termine correttivo?
3)E se integro rispetto ad una variabile diversa rispetto al tempo, non devo applicare nessuna correzione? Perchè?
Ti prego non uccidermi
Non è un caso se i matematici hanno spesso voti bassi negli esami di fisica: i fisici nei corsi base, con lo scopo di semplificare le cose, storpiano la matematica rendendo il tutto incomprensibile a chi abbia una conoscenza analitica sufficientemente sviluppata.
Nel tuo caso ci sono una serie di cose "nascoste" che andrebbero presentata con una certa cura.
La prima consiste nel fatto che \(\displaystyle \mathbf{r} \times F(\mathbf{r}, t) \) è una funzione \(\displaystyle \mathbb{R}^3\times \mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 \). Gli integrali in genere sono su funzioni \(\displaystyle \Omega \to \mathbb{R} \) dove su \(\displaystyle \Omega \) sia definita una qualche misura. Vi è quindi una generalizzazione del concetto di integrale per tenere conto di queste funzioni. Il modo in cui è stato generalizzato è innocuo quindi non ci spendo troppe parole. In ogni caso, per certi versi, tu stai integrando sulle componenti e non tanto sul prodotto scalare.
Detto questo una seconda osservazione importante è che \(\displaystyle \mathbf{r}\times F(\mathbf{r}, t) \) dipende da \(\displaystyle t \) e che quindi anche l'integrale dipende da \(\displaystyle t \). Se non fosse così non avrebbe senso derivare l'integrale. Al contrario del caso descritto da Emar, in questo caso \(\displaystyle t \) potrebbe modificare sia la misura[nota]Suppongo che nel caso generale si possa scrivere la misura come \(\rho(\mathbf{r},t)\,dV\) e si integri su tutto \(\mathbb{R}^3\)[/nota] che la funzione che viene integrata (è l'ipotesi che si tratti di un corpo rigido che fa si che la misura non dipenda da \(\displaystyle t \)). Se la misura cambiasse nel tempo, l'integrazione e la derivazione non potrebbero certo commutare.
Un terzo aspetto un po' problematico risiede in \(\mathbf{r}\) perché da una parte svolge il compito di “variabile muta” relativa a \(\displaystyle dV \) e dall'altro come traiettoria di un oggetto dipendente dal tempo. I due aspetti sono però assolutamente incompatibili. Una variabile muta è come la \(\displaystyle x \) in \(\displaystyle \forall x>1,\, x < x^2 \) ovvero non assume alcun significato proprio. Un qualcosa che si muove è qualcosa invece che possiede una sua identità. È mia opinione che sia la notazione dell'integrale che l'insegnamento dei corsi di analisi diano troppo peso al concetto di variabile.
Pertanto nella scrittura \(\displaystyle \mathbf{r} \times F(\mathbf{r}, t) \) il reale significato è che si sta facendo il prodotto vettoriale tra il vettore posizione del punto in cui è centrato il “volumetto infinitesimo”[nota]Concetto di suo piuttosto discutibile ma se mi metto a fare una tragedia per ogni cosa non finiamo più
.[/nota] con valore del campo di forze in quel punto (con valore intendo valore vettoriale). Nota che solo \(\displaystyle F \) dipende dal tempo perché \(\displaystyle \mathbf{r} \) è la variabile muta dell'integrale. Se preferisci puoi vedere \(\displaystyle \mathbf{r}(P) \) come un campo vettoriale costante nel tempo e \(\displaystyle P \) come la variabile su cui integri (è più o meno la stessa cosa).
Il problema di questo modo di impostare le cose è che se \(\mathbb{r}\) non è quello su cui stai derivando \(\displaystyle F \) allora tutta la dimostrazione in fisica diventa senza senso (:roll: immagino ci sia una qualche via d'uscita, sicuramente in qualche libro di fisica matematica trovi la formulazione corretta).
Avvicinandoti al tuo problema, il termine correttivo non c'è perché l'integrale non è rispetto al tempo. La dimostrazione di Emar e il teorema fondamentale del calcolo integrale non rispondono quindi al tuo problema. Per una dimostrazione seria dovrei pensarci e probabilmente riscrivere lo stesso integrale in modo che abbia senso.
Nel tuo caso ci sono una serie di cose "nascoste" che andrebbero presentata con una certa cura.
La prima consiste nel fatto che \(\displaystyle \mathbf{r} \times F(\mathbf{r}, t) \) è una funzione \(\displaystyle \mathbb{R}^3\times \mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 \). Gli integrali in genere sono su funzioni \(\displaystyle \Omega \to \mathbb{R} \) dove su \(\displaystyle \Omega \) sia definita una qualche misura. Vi è quindi una generalizzazione del concetto di integrale per tenere conto di queste funzioni. Il modo in cui è stato generalizzato è innocuo quindi non ci spendo troppe parole. In ogni caso, per certi versi, tu stai integrando sulle componenti e non tanto sul prodotto scalare.
Detto questo una seconda osservazione importante è che \(\displaystyle \mathbf{r}\times F(\mathbf{r}, t) \) dipende da \(\displaystyle t \) e che quindi anche l'integrale dipende da \(\displaystyle t \). Se non fosse così non avrebbe senso derivare l'integrale. Al contrario del caso descritto da Emar, in questo caso \(\displaystyle t \) potrebbe modificare sia la misura[nota]Suppongo che nel caso generale si possa scrivere la misura come \(\rho(\mathbf{r},t)\,dV\) e si integri su tutto \(\mathbb{R}^3\)[/nota] che la funzione che viene integrata (è l'ipotesi che si tratti di un corpo rigido che fa si che la misura non dipenda da \(\displaystyle t \)). Se la misura cambiasse nel tempo, l'integrazione e la derivazione non potrebbero certo commutare.
Un terzo aspetto un po' problematico risiede in \(\mathbf{r}\) perché da una parte svolge il compito di “variabile muta” relativa a \(\displaystyle dV \) e dall'altro come traiettoria di un oggetto dipendente dal tempo. I due aspetti sono però assolutamente incompatibili. Una variabile muta è come la \(\displaystyle x \) in \(\displaystyle \forall x>1,\, x < x^2 \) ovvero non assume alcun significato proprio. Un qualcosa che si muove è qualcosa invece che possiede una sua identità. È mia opinione che sia la notazione dell'integrale che l'insegnamento dei corsi di analisi diano troppo peso al concetto di variabile.
Pertanto nella scrittura \(\displaystyle \mathbf{r} \times F(\mathbf{r}, t) \) il reale significato è che si sta facendo il prodotto vettoriale tra il vettore posizione del punto in cui è centrato il “volumetto infinitesimo”[nota]Concetto di suo piuttosto discutibile ma se mi metto a fare una tragedia per ogni cosa non finiamo più
.[/nota] con valore del campo di forze in quel punto (con valore intendo valore vettoriale). Nota che solo \(\displaystyle F \) dipende dal tempo perché \(\displaystyle \mathbf{r} \) è la variabile muta dell'integrale. Se preferisci puoi vedere \(\displaystyle \mathbf{r}(P) \) come un campo vettoriale costante nel tempo e \(\displaystyle P \) come la variabile su cui integri (è più o meno la stessa cosa).Il problema di questo modo di impostare le cose è che se \(\mathbb{r}\) non è quello su cui stai derivando \(\displaystyle F \) allora tutta la dimostrazione in fisica diventa senza senso (:roll: immagino ci sia una qualche via d'uscita, sicuramente in qualche libro di fisica matematica trovi la formulazione corretta).
Avvicinandoti al tuo problema, il termine correttivo non c'è perché l'integrale non è rispetto al tempo. La dimostrazione di Emar e il teorema fondamentale del calcolo integrale non rispondono quindi al tuo problema. Per una dimostrazione seria dovrei pensarci e probabilmente riscrivere lo stesso integrale in modo che abbia senso.
Chiaramente non posso scrivere qui un trattato di Analisi, prima di tutto perché non ne sono in grado, secondo perché ci sono mille libri di Analisi ben fatti su cui si trovano queste cose.
Premetto che, anche se la matematica non è un'opinione, la matematica nella fisica e nell'ingegneria è uno strumento, non il fine; di conseguenza il rigore e il formalismo sono spesso trascurati per non appesantire troppo la discussione. Dato che hai posto la domanda sul forum di Analisi, parliamo di matematica.
Rispondo alle tue domande in 3 punti:
1. Funzioni in una variabile
Qui parliamo di quello che abbiamo detto in questo thread, abbiamo una funzione $f(t)$ e vogliamo capire le relazioni tra integrale (quello vero!) e derivata.
Il fulcro è il teorema fondamentale del calcolo integrale che afferma, tra le altre cose:
Premetto che, anche se la matematica non è un'opinione, la matematica nella fisica e nell'ingegneria è uno strumento, non il fine; di conseguenza il rigore e il formalismo sono spesso trascurati per non appesantire troppo la discussione. Dato che hai posto la domanda sul forum di Analisi, parliamo di matematica.
Rispondo alle tue domande in 3 punti:
1. Funzioni in una variabile
Qui parliamo di quello che abbiamo detto in questo thread, abbiamo una funzione $f(t)$ e vogliamo capire le relazioni tra integrale (quello vero!) e derivata.
Il fulcro è il teorema fondamentale del calcolo integrale che afferma, tra le altre cose:
[*:2hhdr5v3]se $f$ è continua, allora la funzione \(F(t) = \int_{t_0}^t f(\tau) d\tau\) è derivabile e \(F'(t) = f(t)\)[/*:m:2hhdr5v3]
[*:2hhdr5v3] se $G$ è tale che $G' = f$, \(\int_a^b f(\tau) d\tau = G(b) - G(a)\)[/*:m:2hhdr5v3][/list:u:2hhdr5v3]
Questo è tutto quello che serve, ti ho già fatto vedere come usare questa cosa nel tuo caso.
2. Funzioni in più variabili
Il thread che hai postato si riferisce ad un problema diverso, hai una funzione integranda che dipende da più variabili e ti chiedi come si comporti l'integrazione in una variabile rispetto alla derivazione nell'altra variabile.
Ovvero, la seguente uguaglianza è verificata?
\[\int_a^b \frac{\partial}{\partial t}f(x,t) dx = \frac{d}{d t} \int_a^b f(x,t) dx\]
Nota che la derivata quando è dentro è parziale, ma quando esce diventa ordinaria perché la primitiva dipende solo da $t$ (e dall'intervallo di integrazione ovviamente).
Questo problema non ha nulla a che fare con quello precedente ed si basa su tutta un'altra teoria. In fisica, e nella modellistica in generale, si suppone che ci siano sempre le ipotesi per scambiare derivata ed integrale.
3. Antiderivazione; Integrali indefiniti (Bonus)
Dimentichiamoci di cosa sia un integrale. Poniamoci in un non precisato spazio funzionale e immaginiamo l'operatore che ad ogni funzione associa la sua derivata: \(D: f \mapsto f'\). Non lasciarti spaventare dai paroloni, immagina un operatore come una black box, mangia una funzione, sputa la derivata. Chiaramente questo operatore non è iniettivo dato che \(D[f + c] = D[f]\), ma facciamo finta di dimenticarcene[nota]A rigore questo avrebbe a che fare con il considerare lo spazio quoziente ma non importa[/nota]. Possiamo introdurre l'inverso di $D$, $D^{-1}$, ovvero l'operatore tale che $D \circ D^{-1} = D^{-1} \circ D = id$, o se preferisci $D[D^{-1}[f]] = f$ e $D^{-1}[D[f]] = f$. Chiamiamo questo operatore di antiderivazione (o integrale indefinito). Chiamiamo primitiva di $f$ la funzione $D^{-1}[f]$ (facendo finta che ne esista una unica, sempre stesso discorso della nota 1).
Possiamo dimostrare la seguente identità: \(D^{-1} \circ D \circ D = D \circ D^{-1} \circ D\)
Se ora chiamiamo \(D = \frac{d}{dx}\) e \(D^{-1} = \int \) possiamo riscrivere l'identità sopra come: \(\int \frac{d^2}{dx^2}f = \frac{d}{dx} \int \frac{d}{dx}f\)
Che è la famosa formula con cui hai aperto il thread! Conclusione: se si lavora con questi operatori "astratti" e socchiudendo gli occhi su alcune questioni di unicità tutto funziona, ma nella pratica bisogna pur fare i calcoli, e gli integrali indefiniti servono a ben poco.
Detto ciò se hai ancora perplessità ti consiglio libro di analisi, penna e carta
EDIT Vedo adesso la ottima risposta di vict
Ragazzi mi avete veramente illuminato con queste due risposte, vi ringrazio moltissimo
A quanto pare la fisica fa molte semplificazioni che spesso non sono chiare, se uno vuole affrontare l'argomento in modo rigoroso. Ringrazio vict per avermi chiarito questi dettagli "nascosti" .D
Detto ciò, ora posso dire di aver capito il 90% della cosa, anche se non saprei rispiegarla bene come avete fatto voi, ma posso andare a dormire tranquillo. La parte sull'Antiderivazione di Emar mi è piaciuta un sacco
Io penso che il problema stia nel fatto che a un corso di ingegneria come il mio, la parte Analisi venga trattata, certamente bene, ma non come a un corso di Laurea in Matematica 
Se sapessi cosa cercare nel libro, l'avrei già fatto, ho cercato anche su internet, ma nulla. Per questo mi sono rivolto a voi e ringrazio per la pazienza
P.S.ho l'Acerbi-Buttazzo come libro di A1
A quanto pare la fisica fa molte semplificazioni che spesso non sono chiare, se uno vuole affrontare l'argomento in modo rigoroso. Ringrazio vict per avermi chiarito questi dettagli "nascosti" .D
Detto ciò, ora posso dire di aver capito il 90% della cosa, anche se non saprei rispiegarla bene come avete fatto voi, ma posso andare a dormire tranquillo. La parte sull'Antiderivazione di Emar mi è piaciuta un sacco
Io penso che il problema stia nel fatto che a un corso di ingegneria come il mio, la parte Analisi venga trattata, certamente bene, ma non come a un corso di Laurea in Matematica "Emar":
Detto ciò se hai ancora perplessità ti consiglio libro di analisi, penna e carta
Se sapessi cosa cercare nel libro, l'avrei già fatto, ho cercato anche su internet, ma nulla. Per questo mi sono rivolto a voi e ringrazio per la pazienza
P.S.ho l'Acerbi-Buttazzo come libro di A1
Non è una dimostrazione completa ma puoi vederla così. Sia \(\displaystyle g\colon\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) continua e derivabile allora sia \(\displaystyle f(t) = g(x_i,t)\Delta x_i \) dove non definisco bene le cose perché sono poco importanti, voglio comunicarti più che altro il senso della formula.
Allora \(\displaystyle \frac{d}{dt} f = \frac{d}{dt}(g(x_i,t)\Delta x_i) = \frac{\partial g(x_i,t)}{\partial x_i}\frac{dx_i}{dt}\Delta x_i + \frac{\partial g(x_i,t)}{\partial t}\frac{dt}{dt}\Delta x_i + g(x_i,t)\frac{d\Delta x_i}{dt} = \frac{\partial g(x_i,t)}{\partial t}\Delta x_i \) perché \(\displaystyle x_i \) non dipende da \(\displaystyle t \). Nota che è una derivata totale fuori e una derivata parziale dentro.
Comunque mi è venuto in mente come eliminare il problema di \(\displaystyle \mathbf{r} \) nella duplica veste. È in realtà molto semplice: l'integrale viene calcolato in un sistema di riferimento solidale all'oggetto. Ovvero cambia \(\displaystyle \(\displaystyle \mathbf{r} = P - O \) \) perché cambia \(\displaystyle O \). In questo senso sia \(\displaystyle \mathbf{r} \) che F sono funzioni di \(\displaystyle t \) e della particella \(\displaystyle P \) dell'oggetto. Tutto sommato era anche qualcosa di piuttosto semplice. Il tutto funziona perché stiamo lavorando con un corpo rigido. Tra l'altro il problema di avere \(\displaystyle \mathbf{r} \) come variabile muta è che anche la massa dipendeva dal tempo, problema che non esiste con questa impostazione.
Allora \(\displaystyle \frac{d}{dt} f = \frac{d}{dt}(g(x_i,t)\Delta x_i) = \frac{\partial g(x_i,t)}{\partial x_i}\frac{dx_i}{dt}\Delta x_i + \frac{\partial g(x_i,t)}{\partial t}\frac{dt}{dt}\Delta x_i + g(x_i,t)\frac{d\Delta x_i}{dt} = \frac{\partial g(x_i,t)}{\partial t}\Delta x_i \) perché \(\displaystyle x_i \) non dipende da \(\displaystyle t \). Nota che è una derivata totale fuori e una derivata parziale dentro.
Comunque mi è venuto in mente come eliminare il problema di \(\displaystyle \mathbf{r} \) nella duplica veste. È in realtà molto semplice: l'integrale viene calcolato in un sistema di riferimento solidale all'oggetto. Ovvero cambia \(\displaystyle \(\displaystyle \mathbf{r} = P - O \) \) perché cambia \(\displaystyle O \). In questo senso sia \(\displaystyle \mathbf{r} \) che F sono funzioni di \(\displaystyle t \) e della particella \(\displaystyle P \) dell'oggetto. Tutto sommato era anche qualcosa di piuttosto semplice. Il tutto funziona perché stiamo lavorando con un corpo rigido. Tra l'altro il problema di avere \(\displaystyle \mathbf{r} \) come variabile muta è che anche la massa dipendeva dal tempo, problema che non esiste con questa impostazione.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo