Tipologie di integrali e loro significato "intuitivo&qu
Salve menti matematiche 
Sono un autodidatta alle prime armi, e apro questo topic nella speranza di chiarirmi qualche dubbio.
Se già la teoria degli integrali è abbastanza complessa di suo, nondimeno le svariate applicazioni dell'integrazione possono contribuire (come nel mio caso) a creare una maggiore confusione.
Provo dunque, confidando nel vostro aiuto, ad analizzare un pò di situazioni applicative.
Premesso che:
y=f(x) individua una curva piana
z=f(x,y) individua una superficie
d=f(x,y,z) individua una proprietà (ad es densità,....) di un volume
1.calcolo dell'area sottesa da una curva di eq. y=f(x) rispetto alle ascisse: integrale semplice
2.Calcolo dell'area individuata da più curve (piane) intersecanti: differenza di integrali semplici
3.Calcolo del volume sotteso da una superficie z=f(x,y) rispetto al piano x-y: integrale doppio
4.Calcolo del volume di un parallelepipedo: integrale triplo (estremi di integrazione tali da individuare le varie lunghezze)
Da qui in poi cominciano i dubbi (mi scuso per le eventuali castronerie).
5.Lunghezza di una curva piana: uso la formula $ L=int_(a)^(b) sqrt(1+(f'(x))^(2) )dx $
6.Lunghezza di una curva NON piana:............(help)
7.Area di una superficie z=f(x,y) delimitata da linee curve: integrale doppio (ma che estremi di integrazione?)
8.Area sottesa da una superficie z=f(x,y) rispetto ad una curva piana: integrale curvilineo
9.Area complessiva della figura ottenuta dall'intersezione di due superfici z1=f(x,y) e z2=g(x,y):..........
10.Volume della figura delimitato da 2 o più superfici intersecanti:.........
La casistica va intesa nel modo più generale possibile (ad es. la 10 potrebbe essere il volume di un "cubo" in cui le 6 facce sono altrettante superfici ondulate; la 9. l'intersezione di un ellissoide con un paraboloide avente vertice nell'origine)
Avrei ancora altri dubbi, ma per il momento credo ci sia già abbastanza carne al fuoco.
Sono un autodidatta alle prime armi, e apro questo topic nella speranza di chiarirmi qualche dubbio.
Se già la teoria degli integrali è abbastanza complessa di suo, nondimeno le svariate applicazioni dell'integrazione possono contribuire (come nel mio caso) a creare una maggiore confusione.
Provo dunque, confidando nel vostro aiuto, ad analizzare un pò di situazioni applicative.
Premesso che:
y=f(x) individua una curva piana
z=f(x,y) individua una superficie
d=f(x,y,z) individua una proprietà (ad es densità,....) di un volume
1.calcolo dell'area sottesa da una curva di eq. y=f(x) rispetto alle ascisse: integrale semplice
2.Calcolo dell'area individuata da più curve (piane) intersecanti: differenza di integrali semplici
3.Calcolo del volume sotteso da una superficie z=f(x,y) rispetto al piano x-y: integrale doppio
4.Calcolo del volume di un parallelepipedo: integrale triplo (estremi di integrazione tali da individuare le varie lunghezze)
Da qui in poi cominciano i dubbi (mi scuso per le eventuali castronerie).
5.Lunghezza di una curva piana: uso la formula $ L=int_(a)^(b) sqrt(1+(f'(x))^(2) )dx $
6.Lunghezza di una curva NON piana:............(help)
7.Area di una superficie z=f(x,y) delimitata da linee curve: integrale doppio (ma che estremi di integrazione?)
8.Area sottesa da una superficie z=f(x,y) rispetto ad una curva piana: integrale curvilineo
9.Area complessiva della figura ottenuta dall'intersezione di due superfici z1=f(x,y) e z2=g(x,y):..........
10.Volume della figura delimitato da 2 o più superfici intersecanti:.........
La casistica va intesa nel modo più generale possibile (ad es. la 10 potrebbe essere il volume di un "cubo" in cui le 6 facce sono altrettante superfici ondulate; la 9. l'intersezione di un ellissoide con un paraboloide avente vertice nell'origine)
Avrei ancora altri dubbi, ma per il momento credo ci sia già abbastanza carne al fuoco.
Risposte
Ti posso rispondere con semplicità alla 6); tra l'altro le superfici il professore non riuscì a spiegarle 
!
Parto dalla definizione di curva [tex]$\Gamma$[/tex] in [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex] d'intervallo base [tex]$I$[/tex]: essa è il grafico di una funzione [tex]$f:\forall t\in I=[a;b]\rightarrow\dot\exists(f_k(t))_{k\in\{1;\hdots;n\}}\in\mathbb{R}^n$[/tex]; supposte le funzioni [tex]$f_k$[/tex] continue con la loro derivata prima (si usa il simbolismo [tex]$f_k\in C^1(I)$[/tex]) la lunghezza di [tex]$\Gamma$[/tex] è [tex]$\int_a^b||\dot f(t)||_2dt=\int_a^b\sqrt{\sum_{k=1}^n(\dot f_k(t))^2}dt$[/tex].
!Parto dalla definizione di curva [tex]$\Gamma$[/tex] in [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex] d'intervallo base [tex]$I$[/tex]: essa è il grafico di una funzione [tex]$f:\forall t\in I=[a;b]\rightarrow\dot\exists(f_k(t))_{k\in\{1;\hdots;n\}}\in\mathbb{R}^n$[/tex]; supposte le funzioni [tex]$f_k$[/tex] continue con la loro derivata prima (si usa il simbolismo [tex]$f_k\in C^1(I)$[/tex]) la lunghezza di [tex]$\Gamma$[/tex] è [tex]$\int_a^b||\dot f(t)||_2dt=\int_a^b\sqrt{\sum_{k=1}^n(\dot f_k(t))^2}dt$[/tex].
in pratica la "spezzetti"? Sarà l'ora, ma non mi è molto chiara la tua risposta.
Ho però trovato questo documento: [url]http://155.185.228.50:8080/campusone/MaterialeDidattico/MatDidattico670/Curve.pdf[/url]
A pagina 18 e 19 c'è la risposta che cercavo (ovviamente molto più banale di quel che mi prefiguravo
)
In effetti la parametrizzazione di una curva giacente su di un piano x-y altro non è che il caso particolare in cui z=0, quindi il punto 6. può dirsi risolto.
Idee per i restanti?
Al momento l'unica strada percorribile mi sembra quella della parametrizzazione delle superfici, ma davvero non so a cosa possa condurre. Attendo pareri di chi conosce questi sentieri
Ho però trovato questo documento: [url]http://155.185.228.50:8080/campusone/MaterialeDidattico/MatDidattico670/Curve.pdf[/url]
A pagina 18 e 19 c'è la risposta che cercavo (ovviamente molto più banale di quel che mi prefiguravo
)In effetti la parametrizzazione di una curva giacente su di un piano x-y altro non è che il caso particolare in cui z=0, quindi il punto 6. può dirsi risolto.
Idee per i restanti?
Al momento l'unica strada percorribile mi sembra quella della parametrizzazione delle superfici, ma davvero non so a cosa possa condurre. Attendo pareri di chi conosce questi sentieri
Le 5 e 6 non sono del tutto corrette.
Infatti la formula riportata, i.e. [tex]$L=\int_a^b \sqrt{1+f^\prime (x)}\ \text{d} x$[/tex], restituisce solo la lunghezza della cura che è grafico di una funzione [tex]$[a,b]\ni x \mapsto f(x)\in \mathbb{R}$[/tex] di classe [tex]$C^1$[/tex].
In generale, una curva (nel senso analitico del termine) è un'applicazione [tex]$[a,b]\ni t\mapsto \gamma (t):=(\gamma_1 (t),\ldots ,\gamma_N(t))\in \mathbb{R}^N$[/tex] continua; se fai anche l'ipotesi che [tex]$\gamma \in C^1([a,b];\mathbb{R}^N)$[/tex], allora la curva è rettificabile e la sua lunghezza è data dall'integale:
[tex]$L:=\int_a^b \lVert \gamma^\prime (t)\rVert\ \text{d} t$[/tex]
ove [tex]$\gamma^\prime (t) =(\gamma_1^\prime (t),\ldots ,\gamma_N^\prime (t))$[/tex] è il vettore formato dalle derivate delle coordinate di [tex]$\gamma$[/tex], [tex]$\lVert \cdot \rVert$[/tex] è la norma euclidea dei vettori di [tex]$\mathbb{R^N}$[/tex] (ossia se [tex]$x=(x_1,\ldots ,x_N)$[/tex] allora [tex]$\lVert x\rVert_2 =\sqrt{\sum_{n=1}^N |x_n|^2}$[/tex]); per essere ancora più espliciti:
[tex]$L=\int_a^b \sqrt{\sum_{n=1}^N |\gamma_n^\prime (t)|^2}\ \text{d} t$[/tex].
Se la curva non è globalmente [tex]$C^1$[/tex] ma solo [tex]$C^1$[/tex] a tratti in [tex]$[a,b]$[/tex], allora si può spezzettare l'intervallo [tex]$[a,b]$[/tex] in un numero finito [tex]$K$[/tex] d'intervallini [tex]$[a_k,b_k]$[/tex] fatti in modo che [tex]$\gamma$[/tex] sia di classe [tex]$C^1$[/tex] in ognuno di essi; in tal caso la lunghezza di $\gamma$ è la somma di tutte le lunghezze relative ai sottointervalli, cioè:
[tex]$L=\sum_{k=1}^K \int_{a_k}^{b_k} \lVert \gamma^\prime (t)\rVert \text{d} t$[/tex].
Come vedi non c'è bisogno di restringersi al caso piano per definire qualcosa che sia la lunghezza... Veramente quella che ti ho dato non è nemmeno la definizione di lunghezza di una curva, ma solo una formula comoda che il più delle volte si applica nei casi concreti; la definizione di lunghezza è un po' più complicata e la trovi su un qualsiasi buon libro di Analisi.
Inoltre, data la generalità della definizione, le curve rettificabili sono molte di più di quelle di classe [tex]$C^1$[/tex] a tratti... Infatti sono rettificabili tutte quelle curve che hanno le coordinate a variazione limitata in [tex]$[a,b]$[/tex], ma qui si entra nel complicato.
Infatti la formula riportata, i.e. [tex]$L=\int_a^b \sqrt{1+f^\prime (x)}\ \text{d} x$[/tex], restituisce solo la lunghezza della cura che è grafico di una funzione [tex]$[a,b]\ni x \mapsto f(x)\in \mathbb{R}$[/tex] di classe [tex]$C^1$[/tex].
In generale, una curva (nel senso analitico del termine) è un'applicazione [tex]$[a,b]\ni t\mapsto \gamma (t):=(\gamma_1 (t),\ldots ,\gamma_N(t))\in \mathbb{R}^N$[/tex] continua; se fai anche l'ipotesi che [tex]$\gamma \in C^1([a,b];\mathbb{R}^N)$[/tex], allora la curva è rettificabile e la sua lunghezza è data dall'integale:
[tex]$L:=\int_a^b \lVert \gamma^\prime (t)\rVert\ \text{d} t$[/tex]
ove [tex]$\gamma^\prime (t) =(\gamma_1^\prime (t),\ldots ,\gamma_N^\prime (t))$[/tex] è il vettore formato dalle derivate delle coordinate di [tex]$\gamma$[/tex], [tex]$\lVert \cdot \rVert$[/tex] è la norma euclidea dei vettori di [tex]$\mathbb{R^N}$[/tex] (ossia se [tex]$x=(x_1,\ldots ,x_N)$[/tex] allora [tex]$\lVert x\rVert_2 =\sqrt{\sum_{n=1}^N |x_n|^2}$[/tex]); per essere ancora più espliciti:
[tex]$L=\int_a^b \sqrt{\sum_{n=1}^N |\gamma_n^\prime (t)|^2}\ \text{d} t$[/tex].
Se la curva non è globalmente [tex]$C^1$[/tex] ma solo [tex]$C^1$[/tex] a tratti in [tex]$[a,b]$[/tex], allora si può spezzettare l'intervallo [tex]$[a,b]$[/tex] in un numero finito [tex]$K$[/tex] d'intervallini [tex]$[a_k,b_k]$[/tex] fatti in modo che [tex]$\gamma$[/tex] sia di classe [tex]$C^1$[/tex] in ognuno di essi; in tal caso la lunghezza di $\gamma$ è la somma di tutte le lunghezze relative ai sottointervalli, cioè:
[tex]$L=\sum_{k=1}^K \int_{a_k}^{b_k} \lVert \gamma^\prime (t)\rVert \text{d} t$[/tex].
Come vedi non c'è bisogno di restringersi al caso piano per definire qualcosa che sia la lunghezza... Veramente quella che ti ho dato non è nemmeno la definizione di lunghezza di una curva, ma solo una formula comoda che il più delle volte si applica nei casi concreti; la definizione di lunghezza è un po' più complicata e la trovi su un qualsiasi buon libro di Analisi.
Inoltre, data la generalità della definizione, le curve rettificabili sono molte di più di quelle di classe [tex]$C^1$[/tex] a tratti... Infatti sono rettificabili tutte quelle curve che hanno le coordinate a variazione limitata in [tex]$[a,b]$[/tex], ma qui si entra nel complicato.
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