Tipologie di equazioni differenziali
Ciao a tutti, mi è sorto un grande dubbio riguardo le tipologie di equazioni differenziali.
Il nostro professore ci ha spiegato che:
Equazioni diff. lineari hanno forma: y'=p(t)y+q(t);
Equazioni diff a variabili separabili: y'=a(t)*b(y);
Adesso se mi trovo davanti un equazione del tipo: $y'=2t*(1+y^2)$ vista così direi che si tratta di un equazione a variabili separabili;
Ma se la riscrivo come $y'=2t+2t*y^2$ istintivamente mi viene da dire che si tratta di un eq. lineare.
Sapete dirmi dove sbaglio?
Un saluto Andrea
Il nostro professore ci ha spiegato che:
Equazioni diff. lineari hanno forma: y'=p(t)y+q(t);
Equazioni diff a variabili separabili: y'=a(t)*b(y);
Adesso se mi trovo davanti un equazione del tipo: $y'=2t*(1+y^2)$ vista così direi che si tratta di un equazione a variabili separabili;
Ma se la riscrivo come $y'=2t+2t*y^2$ istintivamente mi viene da dire che si tratta di un eq. lineare.
Sapete dirmi dove sbaglio?
Un saluto Andrea
Risposte
"Sandsky90":
Ciao a tutti, mi è sorto un grande dubbio riguardo le tipologie di equazioni differenziali.
Il nostro professore ci ha spiegato che:
Equazioni diff. lineari (di primo ordine) hanno forma: y'=p(t)y+q(t);
Equazioni diff a variabili separabili: y'=a(t)*b(y);
Adesso se mi trovo davanti un equazione del tipo: $y'=2t*(1+y^2)$ vista così direi che si tratta di un equazione a variabili separabili;
Ma se la riscrivo come $y'=2t+2t*y^2$ istintivamente mi viene da dire che si tratta di un eq. lineare.
Sapete dirmi dove sbaglio?
Un saluto Andrea
[tex]y'= 2t (1+y^2)[/tex] è una equazione differenziale a variabili separabili come giustamente dici, ma sbagli quando affermi che è una ED lineare infatti , quando espandi, ti ritrovi un [tex]y^2[/tex].
La presenza di $ y^2 $ fa cadere la linearità.
Quindi in sostanza se trovo un eq posso dire che è lineare se e solo se la y è di primo grado?!
Scusa, qual è la definizione di linearità?
Una EDO si dice lineare se...
Una EDO si dice lineare se...
Ah già! 
capisco l'indignazione! Grazie dell'aiuto comunque
capisco l'indignazione! Grazie dell'aiuto comunque
Ma quale indignazione?... 
L'idea era semplicemente quella di farti ragionare sulla definizione di EDO lineare, giacché è proprio usando la definizione che puoi verificare che la EDO che proponi non è lineare.
L'idea era semplicemente quella di farti ragionare sulla definizione di EDO lineare, giacché è proprio usando la definizione che puoi verificare che la EDO che proponi non è lineare.
Aggiungo che una equazione può benissimo essere lineare e a variabili separabili.
Ad esempio $y' = 2t(1+y)$
Ad esempio $y' = 2t(1+y)$
E in questo caso è indifferente la formula che uso per ricavare l'integrale generale?
Può darsi che una strada sia più semplice dell'altra, ma ovviamente il risultato finale deve essere lo stesso, visto che l'equazione sempre quella è, qualunque sia il metodo che usi.
Ciao ho provato a risolvere l'eq $y'=2t(1+y)$ usando sia la formula per l'eq lineare che quella per l'eq a variabili separabili, ma mi vengono risultati leggermente diversi, riporto i passaggi:
Formula per eq lineare:
$P(t)=int(2tdt) -> P(t)=t^2$
$y=e^(t^2)( int(2te^(-t^2)dt)+C)$
$y=e^(t^2)(C-e^(-t^2))$
$y=-e^0*Ce^(t^2); y=C*e^(t^2)-1$
Formula per eq a variabili separabili:
$int(1/(1+y)dy)=int(2tdt)+C$
$ln|1+y|=t^2+C$
$|1+y|=e^(t^2+C)$
$y=e^(t^2+C)-1$
Formula per eq lineare:
$P(t)=int(2tdt) -> P(t)=t^2$
$y=e^(t^2)( int(2te^(-t^2)dt)+C)$
$y=e^(t^2)(C-e^(-t^2))$
$y=-e^0*Ce^(t^2); y=C*e^(t^2)-1$
Formula per eq a variabili separabili:
$int(1/(1+y)dy)=int(2tdt)+C$
$ln|1+y|=t^2+C$
$|1+y|=e^(t^2+C)$
$y=e^(t^2+C)-1$
Sono uguali. La costante additiva all'esponente diventa una costante moltiplicativa positiva. Avendo trascurato il valore assoluto, la trovi solo positiva, ma se ne tieni correttamente conto (del valore assoluto) vedrai che la costante moltiplicativa può essere sia positiva che negativa (e il valore zero della costante si ottiene per il fatto che la funzione costante $-1$ annulla la $b(y)=1+y$).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo