Th.Baire: dimostrazione di enunciati equivalenti
Nel nostro esame di Istituzioni di Analisi Superiore 2 si fa un po' di analisi funzionale, in particolare dimostriamo il teorema di Baire:
(1) In uno spazio metrico completo non vuoto, l'intersezione numerabile di aperti densi è densa.
Il prof c'ha poi dato la definizione di categoria secondo Baire:
uno spazio metrico si dice di prima categoria <=> è unione al più numerabile di insiemi magri (nowere denses)
e di seconda categoria altrimenti
Il teorema di Baire può così essere formulato così:
(2) Ogni spazio metrico completo è di seconda categoria.
Non riesco a dimostrare l'equivalenza: ho dimostrato la (1)=>(2) (per assurdo), ma nel dimostrare la (2)=>(1) mi blocco:
sempre ragionando per assurdo:
supponiamo che ci sia una ${V_n}_n$ di aperti di $X$ che non verifica il (1) ($EEW sub X $aperto t.c. $W cap cap(V_n)=O/$), detti $A_n=V_n^C$ (risultano essere magri), risulta $X=W cup cup(A_n)$
ma da qui a mostrare l'assurdo...?
(1) In uno spazio metrico completo non vuoto, l'intersezione numerabile di aperti densi è densa.
Il prof c'ha poi dato la definizione di categoria secondo Baire:
uno spazio metrico si dice di prima categoria <=> è unione al più numerabile di insiemi magri (nowere denses)
e di seconda categoria altrimenti
Il teorema di Baire può così essere formulato così:
(2) Ogni spazio metrico completo è di seconda categoria.
Non riesco a dimostrare l'equivalenza: ho dimostrato la (1)=>(2) (per assurdo), ma nel dimostrare la (2)=>(1) mi blocco:
sempre ragionando per assurdo:
supponiamo che ci sia una ${V_n}_n$ di aperti di $X$ che non verifica il (1) ($EEW sub X $aperto t.c. $W cap cap(V_n)=O/$), detti $A_n=V_n^C$ (risultano essere magri), risulta $X=W cup cup(A_n)$
ma da qui a mostrare l'assurdo...?
Risposte
La dimostrazione che so io usa un teorema di Cantor:
se $X$ è completo, ogni successione "nested" di dischi chiusi $D_n$ ($D_{n}\subD_{n-1}$) è tale che l'intersezione non è vuota, e se poi i diametri tendono a zero è ridotta a un solo punto (questo teorema lo conosci di sicuro).
Devi dimostrare che non c'è una successione di chiusi a int.vuoto la cui unione sia $X$. Supponi che invece ci sia: devi trovare un punto che non appartiene a nessun chiuso. Ti costruisci una successione di dischi di raggio $1/n$ così:
(chiamo $C_n$ la famiglia di chiusi) $D_1$ arbitrario. Allora $D_1nnC_1$ ha int.vuoto. Scegli $D_2$ (di raggio 1/2) contenuto in $D_1$ e $D_2nnC_1=\emptyset$. Rifai tutto con $C_2$. Il concetto è: se i chiusi hanno interno vuoto, quando li intersechi con i dischi ottieni qualcosa a interno vuoto. Alla fine ti trovi una successione decrescente di dischi, e $\forall n$, $D_n$ non si intereseca con $C_1uuC_2uu\ldotsuuC_n-1$. Sai che l'intersezione di tutti questi dischi è un punto(qui è necessario che lo spazio sia completo), e che questo punto non appartiene a nessuno dei chiusi. Più o meno è così, se non mi sono spiegato vado a rivedere sui libri. Ciao!
P.S.: Anche io sono di Bari, è probabile che ci conosciamo. Io mi chiamo Giuseppe.
se $X$ è completo, ogni successione "nested" di dischi chiusi $D_n$ ($D_{n}\subD_{n-1}$) è tale che l'intersezione non è vuota, e se poi i diametri tendono a zero è ridotta a un solo punto (questo teorema lo conosci di sicuro).
Devi dimostrare che non c'è una successione di chiusi a int.vuoto la cui unione sia $X$. Supponi che invece ci sia: devi trovare un punto che non appartiene a nessun chiuso. Ti costruisci una successione di dischi di raggio $1/n$ così:
(chiamo $C_n$ la famiglia di chiusi) $D_1$ arbitrario. Allora $D_1nnC_1$ ha int.vuoto. Scegli $D_2$ (di raggio 1/2) contenuto in $D_1$ e $D_2nnC_1=\emptyset$. Rifai tutto con $C_2$. Il concetto è: se i chiusi hanno interno vuoto, quando li intersechi con i dischi ottieni qualcosa a interno vuoto. Alla fine ti trovi una successione decrescente di dischi, e $\forall n$, $D_n$ non si intereseca con $C_1uuC_2uu\ldotsuuC_n-1$. Sai che l'intersezione di tutti questi dischi è un punto(qui è necessario che lo spazio sia completo), e che questo punto non appartiene a nessuno dei chiusi. Più o meno è così, se non mi sono spiegato vado a rivedere sui libri. Ciao!
P.S.: Anche io sono di Bari, è probabile che ci conosciamo. Io mi chiamo Giuseppe.
ah..rileggendo vedo che non avevo capito bene la domanda...tu non vuoi la dim. del teorema di Baire(che per me è quello che tu chiami formulazione (2)) ma la dim. di:
($X$ è di seconda categoria)$\Rightarrow$(per ogni famiglia ${U_n}_{n\inNN}$ di aperti densi risulta che $nn_{n=1}^\infty U_n$ è densa)
giusto?
($X$ è di seconda categoria)$\Rightarrow$(per ogni famiglia ${U_n}_{n\inNN}$ di aperti densi risulta che $nn_{n=1}^\infty U_n$ è densa)
giusto?
Ma tu m'hai semplicemente dimostrato il (2), no?
Il teorema di Baire ce l'ho dimostrato in entrambe le versioni (in effetti ho la dimostrazione della (1) e (1)=>(2)), la cosa che non riuscivo a mostrare era il (2)=>(1).. Cmq grazie per la dimostrazione diretta del (2).
P.S: a che anno stai? io ho finito di frequentare il terzo quest'anno.. sono Biagio!
Ma studi qui? E hai fatto questa dimostrazione in Analisi Funzionale? Mi sa mi sa che ho capito chi sei.. o forse no
Il teorema di Baire ce l'ho dimostrato in entrambe le versioni (in effetti ho la dimostrazione della (1) e (1)=>(2)), la cosa che non riuscivo a mostrare era il (2)=>(1).. Cmq grazie per la dimostrazione diretta del (2).
P.S: a che anno stai? io ho finito di frequentare il terzo quest'anno.. sono Biagio!
Ma studi qui? E hai fatto questa dimostrazione in Analisi Funzionale? Mi sa mi sa che ho capito chi sei.. o forse no
[O.T.]Ciao Biagio! Certo che ci conosciamo, sono iscritto al tuo stesso anno ed abbiamo frequentato insieme quasi tutti i corsi. Per intenderci io sono quello che portava i capelli tagliati strani! 
[/O.T.]
Questa dimostrazione risale all'esame di Geometria 4, che ho preparato quasi esclusivamente dal Sernesi Geometria 2. Infatti nella sezione dedicata a spazi metrici completi & co. quel libro mette anche questo teorema. La proposizione è un po' diversa dalla tua:
($X$è uno spazio metrico completo)$\Rightarrow$($X$ è di seconda categoria) $\iff$ (Non esiste una famiglia numerabile di chiusi a interno vuoto la cui unione sia tutto lo spazio)
Bisogna dimostrare che questa proposizione equivale alla tua (1):
(Ogni famiglia numerabile di aperti densi ha intersezione densa)
o alla sua versione duale
(Ogni famiglia numerabile di chiusi magri ha unione magra).
Su un altro libro, il Munkres Topology, ho trovato (lemma 48.4, capitolo 8):
che risolve la questione. Infatti se in uno spazio di seconda categoria una unione numerabile di chiusi magri non fosse magra, l'interno di questa unione sarebbe un sottospazio aperto di prima categoria di uno spazio di seconda categoria, in contraddizione col lemma.
Se vuoi posto la dimostrazione (che a occhio non mi pare molto complicata), però ti dico sinceramente che questa è la mia maniera di vedere le cose, abbastanza incasinata. Probabilmente Jannelli avrà fatto tutto in un modo diverso e magari più liscio. Vedi tu.
Comunque mi fa molto piacere vedere che anche tu collabori a questo forum. A presto!
[/O.T.]Questa dimostrazione risale all'esame di Geometria 4, che ho preparato quasi esclusivamente dal Sernesi Geometria 2. Infatti nella sezione dedicata a spazi metrici completi & co. quel libro mette anche questo teorema. La proposizione è un po' diversa dalla tua:
($X$è uno spazio metrico completo)$\Rightarrow$($X$ è di seconda categoria) $\iff$ (Non esiste una famiglia numerabile di chiusi a interno vuoto la cui unione sia tutto lo spazio)
Bisogna dimostrare che questa proposizione equivale alla tua (1):
(Ogni famiglia numerabile di aperti densi ha intersezione densa)
o alla sua versione duale
(Ogni famiglia numerabile di chiusi magri ha unione magra).
Su un altro libro, il Munkres Topology, ho trovato (lemma 48.4, capitolo 8):
*Lemma 48.4. Any open subspace Y of a Baire space X is itself a Baire space.(lui chiama così gli spazi di seconda categoria).
che risolve la questione. Infatti se in uno spazio di seconda categoria una unione numerabile di chiusi magri non fosse magra, l'interno di questa unione sarebbe un sottospazio aperto di prima categoria di uno spazio di seconda categoria, in contraddizione col lemma.
Se vuoi posto la dimostrazione (che a occhio non mi pare molto complicata), però ti dico sinceramente che questa è la mia maniera di vedere le cose, abbastanza incasinata. Probabilmente Jannelli avrà fatto tutto in un modo diverso e magari più liscio. Vedi tu.
Comunque mi fa molto piacere vedere che anche tu collabori a questo forum. A presto!
Giuseppe!
Carramba! Stranissimo..ci conosciamo eppure non sapevamo che scrivevamo tutti e due qua! Si, mi piace molto questo forum.. è un'occasione per conoscere gente con cui parlare di matematica, a cui chiedere consiglio o a cui darne..anche se abitano a 10 minuti da casa tua!
No, non vale la pena che tu pubblichi la dimostrazione, volevo giusto capire se c'era un modo semplice per andare avanti sulla mia strada...alla fine non è strettamtne indispensabile per l'esame..e preferisco concentrarmi su dare quest'esame. Quando ho un po' di tempo stavo effettivamente già meditando di leggere il Sernesi, data la mia cultura geometrica...magra(:D). Grandioso il fatto che tu studi da solo i libri: effettivamente sono un po' insoddisfatto della mia preparazione: avrò pure una media alta, ma non mi sento poi così preparato..per questo stavo meditando di darmi a un po' di riletture...Ad esempio mi volevo rileggere il Buttazzo e il Sernesi. Almeno prima della specialistica, sopratutto se me ne vado, volevo...essere più completo.
Carramba! Stranissimo..ci conosciamo eppure non sapevamo che scrivevamo tutti e due qua! Si, mi piace molto questo forum.. è un'occasione per conoscere gente con cui parlare di matematica, a cui chiedere consiglio o a cui darne..anche se abitano a 10 minuti da casa tua!
No, non vale la pena che tu pubblichi la dimostrazione, volevo giusto capire se c'era un modo semplice per andare avanti sulla mia strada...alla fine non è strettamtne indispensabile per l'esame..e preferisco concentrarmi su dare quest'esame. Quando ho un po' di tempo stavo effettivamente già meditando di leggere il Sernesi, data la mia cultura geometrica...magra(:D). Grandioso il fatto che tu studi da solo i libri: effettivamente sono un po' insoddisfatto della mia preparazione: avrò pure una media alta, ma non mi sento poi così preparato..per questo stavo meditando di darmi a un po' di riletture...Ad esempio mi volevo rileggere il Buttazzo e il Sernesi. Almeno prima della specialistica, sopratutto se me ne vado, volevo...essere più completo.
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