Th. Dini
Ciao a tutti. Questo problema mi dice: "data $F(x,y)=x^2+y^3+x$, dire se definisce implicitamente $y=y(x)$ in un intorno di $(0,0)$". Io ho ragionato così:
$F(0,0)=0$
$Fy(0,0)=0$
Allora $F(x,y)=x^2+y^3+x$ non definisce implicitamente $y=y(x)$ in un intorno di $(0,0)$, poiché anche se $F(0,0)=0$ poi la derivata parziale rispetto a $y$ non è diversa da zero, come invece dovrebbe essere per il th. Dini. La soluzione è però il contrario, e cioè che la definisce! Secondo me, poiché è la derivata parziale rispetto a $x$ che è diversa da zero in $(0,0)$ (in particolare, $Fx(0,0)=1$), la funzione esplicita è solo $x=x(y)$, e non anche $y=y(x)$! Chi dice giusto?
$F(0,0)=0$
$Fy(0,0)=0$
Allora $F(x,y)=x^2+y^3+x$ non definisce implicitamente $y=y(x)$ in un intorno di $(0,0)$, poiché anche se $F(0,0)=0$ poi la derivata parziale rispetto a $y$ non è diversa da zero, come invece dovrebbe essere per il th. Dini. La soluzione è però il contrario, e cioè che la definisce! Secondo me, poiché è la derivata parziale rispetto a $x$ che è diversa da zero in $(0,0)$ (in particolare, $Fx(0,0)=1$), la funzione esplicita è solo $x=x(y)$, e non anche $y=y(x)$! Chi dice giusto?
Risposte
Basta ricavare esplicitamente la \(y\):
\[
y = -\sqrt[3]{x^2+x}.
\]
Che poi non si possa applicare il Teorema del Dini è vero, ma quel teorema è solo una condizione sufficiente.
\[
y = -\sqrt[3]{x^2+x}.
\]
Che poi non si possa applicare il Teorema del Dini è vero, ma quel teorema è solo una condizione sufficiente.
Ah, ora capisco, grazie! 
scusate se mi intrufolo, ma è per capire pure io.. quindi se in un compito d'esame o in un esercizio mi succede che
il punto $P=(x_0,y_0)\in A$ ove $A$ è l'insieme aperto di $RR^2$ ove è definita $F(x,y)$
e mi succede che
$F(x_0,y_0)=0$ e $ (\partial F)/(\partial y)(x_0,y_0)=0 $
in questo caso il Teorema di Dini non è applicabile, ma non posso dire nulla giusto? O dico già subito che non esiste $y=f(x)$?
Perchè Dini afferma che se $ F(x_0,y_0)=0, \partial_y F(x_0,y_0)\ne 0 $ allora esiste un intorno $ U(x_0)\vee V(y_0) $ tali che per ogni $x\in U$ esiste uno e un solo $y=f(x)$
il punto $P=(x_0,y_0)\in A$ ove $A$ è l'insieme aperto di $RR^2$ ove è definita $F(x,y)$
e mi succede che
$F(x_0,y_0)=0$ e $ (\partial F)/(\partial y)(x_0,y_0)=0 $
in questo caso il Teorema di Dini non è applicabile, ma non posso dire nulla giusto? O dico già subito che non esiste $y=f(x)$?
Perchè Dini afferma che se $ F(x_0,y_0)=0, \partial_y F(x_0,y_0)\ne 0 $ allora esiste un intorno $ U(x_0)\vee V(y_0) $ tali che per ogni $x\in U$ esiste uno e un solo $y=f(x)$
Per applicare il teorema di dini è sufficiente che almeno una delle derivate parziali non sia nulla! Se:
$ F(x_0,y_0)=0 $ e $ (\partial F)/(\partial y)(x_0,y_0)=0 $ ma $ (\partial F)/(\partial x)(x_0,y_0) ne 0 $
Poco male
potrai ricavare una funzione del tipo $x=f(y)$
$ F(x_0,y_0)=0 $ e $ (\partial F)/(\partial y)(x_0,y_0)=0 $ ma $ (\partial F)/(\partial x)(x_0,y_0) ne 0 $
Poco male
potrai ricavare una funzione del tipo $x=f(y)$
Il punto è che potresti avere entrambe le derivate parziali nulle e comunque poter esplicitare in maniera univoca \(y=y(x)\) o viceversa.
Ad esempio, se
\[
F(x,y) = x^3 - y^3
\]
è chiaro che \(F\) è nulla insieme alle sue derivate parziali in \((0,0)\), ma l'equazione \(F=0\) definisce comunque un'unica funzione \(y = f(x)\) (o anche \(x = g(y)\)); in questo caso si ha infatti \(f(x) = x\) (o \(g(y) = y\)).
Ad esempio, se
\[
F(x,y) = x^3 - y^3
\]
è chiaro che \(F\) è nulla insieme alle sue derivate parziali in \((0,0)\), ma l'equazione \(F=0\) definisce comunque un'unica funzione \(y = f(x)\) (o anche \(x = g(y)\)); in questo caso si ha infatti \(f(x) = x\) (o \(g(y) = y\)).
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