Th. di Rolle
Buonasera, mi aiutate a svolgere questo esercizio?
La funzione f(x), che vale x^2+ax+b per x<0 e cx+3 per x>=0, soddisfa il th. di Rolle nell'intervallo [-1,1] per:
a=1, b=3, c=4
a=c=1/2, b=3
a=0, b=3, c=5
a=b=3, c=1
Come devo procedere? Ho provato ad applicare Rolle ma non riesco ad ottenere nessuno dei 4 risultati...
Mi date un aiutino per favore.
GRAZIE
La funzione f(x), che vale x^2+ax+b per x<0 e cx+3 per x>=0, soddisfa il th. di Rolle nell'intervallo [-1,1] per:
a=1, b=3, c=4
a=c=1/2, b=3
a=0, b=3, c=5
a=b=3, c=1
Come devo procedere? Ho provato ad applicare Rolle ma non riesco ad ottenere nessuno dei 4 risultati...
Mi date un aiutino per favore.
GRAZIE
Risposte
Prova a scrivere usando le formule...
Comunque, quali sono le ipotesi del teorema di Rolle?
Comunque, quali sono le ipotesi del teorema di Rolle?
Ciao azzurra981,
Innanzitutto, come ti ha già scritto Bremen000, scriviamo correttamente il problema con le formule (così puoi modificare il tuo post iniziale semplicemente copiando le formule che sto per scriverti) e poi vediamo quali sono le ipotesi del teorema di Rolle.
La funzione
$f(x) = {(x^2 + ax + b \text{ se } x < 0),(cx + 3 \text{ se } x \ge 0):}$
soddisfa il teorema di Rolle nell'intervallo $[-1, 1]$ per:
A) $a = 1$, $b = 3$, $c = 4$;
B) $a = c = 1/2$, $b = 3$;
C) $a = 0$, $b = 3$, $c = 5$;
D) $a = b = 3$, $c = 1$.
Soluzione
E' chiaro che occorre trovare $a$, $b$ e $c$, quindi ci occorrono 3 condizioni. La prima ci è data dall'ipotesi del teorema di Rolle che dice che deve essere $f(- 1) = f(1)$, cioè, nel nostro caso:
$(-1)^2 + a\cdot (-1) + b = c\cdot (1) + 3 \implies 1 - a + b = c + 3 \implies - a + b - c = 2$
e questa in realtà già ci basta per escludere le risposte A), C) e D), per cui l'unica possibile risposta corretta è la B). Per dimostrarlo, facciamo uso delle altre ipotesi del teorema di Rolle che dicono che la funzione deve essere continua e derivabile in ogni punto dell'intervallo $[-1, 1]$: quindi, siccome naturalmente il punto critico dove "si saldano" le due sub-funzioni che contribuiscono alla definizione di $f(x)$ è il punto $x_0 = 0$, per la continuità deve essere:
$lim_{h \to 0^+} f(x_0 + h) = f(x_0) \implies lim_{h \to 0^+} f(0 + h) = f(0) = 3 \implies lim_{h \to 0^+} f(h) = f(0) = 3 \implies$
$\implies lim_{h \to 0^+} ch + 3 = 3$
e questo è vero per qualsiasi valore di $c$ (infatti la funzione è continua a destra di $x_0 = 0$); ma deve essere anche
$lim_{h \to 0^-} f(x_0 + h) = f(x_0) \implies lim_{h \to 0^-} f(0 + h) = f(0) = 3 \implies lim_{h \to 0^-} f(h) = f(0) = 3 \implies $
$implies lim_{h \to 0^-} h^2 + ah + b = 3 \implies b = 3$
Inserendo il valore $b = 3$ nella prima relazione ottenuta, si ha:
$-a + 3 - c = 2 \implies - a - c = - 1 \implies a + c = 1$
Gli indizi che danno per favorita la risposta B) aumentano...
La prova schiacciante ci sarà fornita imponendo che la funzione sia derivabile in $x_0 = 0$ e questo accade se la derivata destra è uguale alla derivata sinistra, cioè se
$lim_{h \to 0^+} frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = lim_{h \to 0^-} frac{f(0 + h) - f(0)}{h}$
cioè
$lim_{h \to 0^+} frac{f(h) - f(0)}{h} = lim_{h \to 0^-} frac{f(h) - f(0)}{h}$
che nel nostro caso diventa:
$lim_{h \to 0^+} frac{ch + 3 - 3}{h} = lim_{h \to 0^-} frac{h^2 + ah + b - 3}{h} \implies c = lim_{h \to 0^-} frac{h^2 + ah + 3 - 3}{h} \implies c = a$
Inserendo quest'ultima relazione nell'equazione $a + c = 1$ si trova proprio $a = c = frac{1}{2}$. Possiamo concludere, senza ombra di dubbio, che la risposta corretta è la B).
Innanzitutto, come ti ha già scritto Bremen000, scriviamo correttamente il problema con le formule (così puoi modificare il tuo post iniziale semplicemente copiando le formule che sto per scriverti) e poi vediamo quali sono le ipotesi del teorema di Rolle.
La funzione
$f(x) = {(x^2 + ax + b \text{ se } x < 0),(cx + 3 \text{ se } x \ge 0):}$
soddisfa il teorema di Rolle nell'intervallo $[-1, 1]$ per:
A) $a = 1$, $b = 3$, $c = 4$;
B) $a = c = 1/2$, $b = 3$;
C) $a = 0$, $b = 3$, $c = 5$;
D) $a = b = 3$, $c = 1$.
Soluzione
E' chiaro che occorre trovare $a$, $b$ e $c$, quindi ci occorrono 3 condizioni. La prima ci è data dall'ipotesi del teorema di Rolle che dice che deve essere $f(- 1) = f(1)$, cioè, nel nostro caso:
$(-1)^2 + a\cdot (-1) + b = c\cdot (1) + 3 \implies 1 - a + b = c + 3 \implies - a + b - c = 2$
e questa in realtà già ci basta per escludere le risposte A), C) e D), per cui l'unica possibile risposta corretta è la B). Per dimostrarlo, facciamo uso delle altre ipotesi del teorema di Rolle che dicono che la funzione deve essere continua e derivabile in ogni punto dell'intervallo $[-1, 1]$: quindi, siccome naturalmente il punto critico dove "si saldano" le due sub-funzioni che contribuiscono alla definizione di $f(x)$ è il punto $x_0 = 0$, per la continuità deve essere:
$lim_{h \to 0^+} f(x_0 + h) = f(x_0) \implies lim_{h \to 0^+} f(0 + h) = f(0) = 3 \implies lim_{h \to 0^+} f(h) = f(0) = 3 \implies$
$\implies lim_{h \to 0^+} ch + 3 = 3$
e questo è vero per qualsiasi valore di $c$ (infatti la funzione è continua a destra di $x_0 = 0$); ma deve essere anche
$lim_{h \to 0^-} f(x_0 + h) = f(x_0) \implies lim_{h \to 0^-} f(0 + h) = f(0) = 3 \implies lim_{h \to 0^-} f(h) = f(0) = 3 \implies $
$implies lim_{h \to 0^-} h^2 + ah + b = 3 \implies b = 3$
Inserendo il valore $b = 3$ nella prima relazione ottenuta, si ha:
$-a + 3 - c = 2 \implies - a - c = - 1 \implies a + c = 1$
Gli indizi che danno per favorita la risposta B) aumentano...
La prova schiacciante ci sarà fornita imponendo che la funzione sia derivabile in $x_0 = 0$ e questo accade se la derivata destra è uguale alla derivata sinistra, cioè se
$lim_{h \to 0^+} frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = lim_{h \to 0^-} frac{f(0 + h) - f(0)}{h}$
cioè
$lim_{h \to 0^+} frac{f(h) - f(0)}{h} = lim_{h \to 0^-} frac{f(h) - f(0)}{h}$
che nel nostro caso diventa:
$lim_{h \to 0^+} frac{ch + 3 - 3}{h} = lim_{h \to 0^-} frac{h^2 + ah + b - 3}{h} \implies c = lim_{h \to 0^-} frac{h^2 + ah + 3 - 3}{h} \implies c = a$
Inserendo quest'ultima relazione nell'equazione $a + c = 1$ si trova proprio $a = c = frac{1}{2}$. Possiamo concludere, senza ombra di dubbio, che la risposta corretta è la B).
Grazie mille!!
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