Th della divergenza e Stokes
Ciao ragazzi, oggi sono qui a chiedere se lo svolgimento del seguente esercizio e' corretto. Esso recita:
Dato il campo vettoriale F(x, y, z) = (x, y, z), calcolare il flusso del campo F attraverso la superficie $\Sigma$ e la circuitazione di F su $\partial^+ F$, dove:
$
D={(x,y,z) \in R^3 | x=y^2+z^2 , 0 \le x \le 1}
$
Svolgimento:
Inizio volendo determinare il flusso del campo F uscente dalle superficie $\Sigma$. Per applicare il Th. della Divergenza, considero un cerchio ($\Sigma_1$) che "tappi" la superficie $\Sigma$. Quindi:
$
\Phi(\Sigma) + \Phi(\Sigma_1) = \int \int \int_{\Omega} \grad *F dx dy dz
$
devo ora determinare il dominio $\Omega$:
$
\Sigma = {(x,y,z) \in R^3 | x=y^2+z^2, 0 \le x \le 1}
$
$
\Sigma_1 = {(x,y,z) \in R^3 | x \ge y^2+z^2 , x=1}
$
$
\Omega = \Sigma \cup \Sigma_1 = {(x,y,z) \in R^3 x>y^2+z^2 , 0
$
Inoltre $\grad * F = 3$, ora decido di calcolare l'integrale triplo per fette:
$
3 \int_0^1 ( \int_{x\gey^2+z^2} dy dz) dx
$
passando in coordinate polari dove; $y=\rho cos \theta$ , $\rho sin \theta$ con $\rho \in [0,\sqrt{x}]$ , $\theta \in [0,2\pi)$:
$
3 \int_0^1 (\pi x) dx = \frac{3}{2} \pi
$
Ora rimane da calcolare il flusso uscente da $\Sigma_1$, quindi parametrizzo la curva
$
r(u,v) = (u^2+v^2,u,v) \rightarrow F(r(u,v)) = (u^2+v_2,u,v))
$
$
\int_{\Sigma_1} F * (1,0,0) d\ sigma = \int \int (u^2+v^2) \sqrt{1+4u^2+4v^2}du dv = \frac{1}{60} (1+25 \sqrt{5})
$
Allora il flusso uscente da $\Sigma$ vale:
$
\Phi (\Sigma) = 3/2 \pi - \frac{1}{60} (1+25\sqrt{5}) \pi
$
Ora l'esercizio chiede di determinare la circuitazione di F su bordo di $\Sigma$. Dal teorema di Stokes so che:
$
\int_{\Sigma} d \sigma = \int_{\partial^+ \Sigma} ds
$
Il rotore di F vale $rot F = (0,0,0)$. Allora la circuitazione di F su $\partial^+ \Sigma$ e' nulla.
Ringrazio in anticipo chiunque mi risponda.
Dato il campo vettoriale F(x, y, z) = (x, y, z), calcolare il flusso del campo F attraverso la superficie $\Sigma$ e la circuitazione di F su $\partial^+ F$, dove:
$
D={(x,y,z) \in R^3 | x=y^2+z^2 , 0 \le x \le 1}
$
Svolgimento:
Inizio volendo determinare il flusso del campo F uscente dalle superficie $\Sigma$. Per applicare il Th. della Divergenza, considero un cerchio ($\Sigma_1$) che "tappi" la superficie $\Sigma$. Quindi:
$
\Phi(\Sigma) + \Phi(\Sigma_1) = \int \int \int_{\Omega} \grad *F dx dy dz
$
devo ora determinare il dominio $\Omega$:
$
\Sigma = {(x,y,z) \in R^3 | x=y^2+z^2, 0 \le x \le 1}
$
$
\Sigma_1 = {(x,y,z) \in R^3 | x \ge y^2+z^2 , x=1}
$
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\Omega = \Sigma \cup \Sigma_1 = {(x,y,z) \in R^3 x>y^2+z^2 , 0
Inoltre $\grad * F = 3$, ora decido di calcolare l'integrale triplo per fette:
$
3 \int_0^1 ( \int_{x\gey^2+z^2} dy dz) dx
$
passando in coordinate polari dove; $y=\rho cos \theta$ , $\rho sin \theta$ con $\rho \in [0,\sqrt{x}]$ , $\theta \in [0,2\pi)$:
$
3 \int_0^1 (\pi x) dx = \frac{3}{2} \pi
$
Ora rimane da calcolare il flusso uscente da $\Sigma_1$, quindi parametrizzo la curva
$
r(u,v) = (u^2+v^2,u,v) \rightarrow F(r(u,v)) = (u^2+v_2,u,v))
$
$
\int_{\Sigma_1} F * (1,0,0) d\ sigma = \int \int (u^2+v^2) \sqrt{1+4u^2+4v^2}du dv = \frac{1}{60} (1+25 \sqrt{5})
$
Allora il flusso uscente da $\Sigma$ vale:
$
\Phi (\Sigma) = 3/2 \pi - \frac{1}{60} (1+25\sqrt{5}) \pi
$
Ora l'esercizio chiede di determinare la circuitazione di F su bordo di $\Sigma$. Dal teorema di Stokes so che:
$
\int_{\Sigma}
$
Il rotore di F vale $rot F = (0,0,0)$. Allora la circuitazione di F su $\partial^+ \Sigma$ e' nulla.
Ringrazio in anticipo chiunque mi risponda.

Risposte
"fisico8":
Ora rimane da calcolare il flusso uscente da $\Sigma_1$, quindi parametrizzo la curva ...
Qui non ho capito cosa fai.
La prima parte e' ok.
Ciao Quinzio grazie per la risposta.
Quello che faccio e' risolvere:
$
\int_{\Sigma_1} F*n d\sigma
$
quindi calcolo l'integrale di superficie, e per far questo parametrizzo la curva $\Sigma_1$, poi applico la parametrizzazione al campo F. giusto?
Quello che faccio e' risolvere:
$
\int_{\Sigma_1} F*n d\sigma
$
quindi calcolo l'integrale di superficie, e per far questo parametrizzo la curva $\Sigma_1$, poi applico la parametrizzazione al campo F. giusto?
"fisico8":
Ciao Quinzio grazie per la risposta.
Quello che faccio e' risolvere:
$
\int_{\Sigma_1} F*n d\sigma
$
quindi calcolo l'integrale di superficie, e per far questo parametrizzo la curva $\Sigma_1$, poi applico la parametrizzazione al campo F. giusto?
Ok, ma il tappo e' $(1, u, v)$ con $u \in [-1, 1]$ e $v = \sqrt(1-u^2)$.
da cui $\bb n = (1, 0, 0)$.
$\bb F \cdot \bb n = (1, 0, 0)$
Il flusso e' banalmente $\pi$, l'area del cerchio.
Sbaglio qualcosa ?
Ciao Quinzio, grazie davvero per la paziente risposta. Credo che tu abbia ragione (era un dubbio che mi portavo da qualche giorno, infatti lo chiedevo anche in un altro post di qualche giorno fa), pensandoci e' davvero stupido quello che ho scritto, perche' e' un cerchio che non varia in x.