Th degli zeri, caso particolare

[TuxDroid]

Ciao a tutti, preparando l'esame di Analisi I mi sono imbattuto in questo esercizio (ahime sprovvisto di soluzione) che mi crea non pochi problemi già a partire "dalla traccia". Il testo è il seguente:

"Dato il problema

\(\displaystyle y' = -\frac{\sqrt{1-y^2}}{\sqrt{1-x^2}} \) , \(\displaystyle y(0) = \frac{1}{4} \)

trovare la soluzione, precisare l' intervallo in cui è definita, tracciarne il grafico, provare che può essere prolungata a sinistra ma non a destra. "

Bene, considerando che ho a disposizione la derivata prima pensavo di applicare il teorema degli zeri ma... dovrei disporre del dominio della primitiva (per poi valutarne il comportamento agli estremi). Inoltre non posso studiare neppure il segno della derivata $y'$, in quanto è presente $y$ che, credo, si riferisce proprio alla primitiva della funzione in questione!

Non so veramente come procedere.... Qualche suggerimento su come impostare la soluzione?

Grazie mille!

[gugo82]

Che c'entra il teorema degli zeri con questo problema qui (che è un problema di Cauchy per una EDO del primo ordine)?
In realtà, questo è un esercizio tipico di Analisi II (anche se può essere svolto con strumenti di Analisi I)... Per svolgerlo devi saper calcolare un paio di integrali ma, se vuoi, posso aiutarti a svolgerlo.
Vedi un po' tu.

[TuxDroid]

Allora, facendo un po di ricerche ho capito quanto grande fosse il granchio che abbia preso pensando al teorema degli zeri.. Il fatto è che non abbiamo trattato le equazioni differenziali durante il corso! Tuttavia, continuando con le ricerche, ho trovato una dispensina che illustra come risolvere tale esercizio. Il link è il seguente: http://ftp.cs.unibo.it/pub/spaletta/EqDiffT-analisi.pdf, posterò una bozza di soluzione poichè vorrei cimentarmi con la risoluzione di questa tipologia di esercizio e mi piacerebbe avere un vostro riscontro!

[gugo82]

Ok.
Ma non c'è bisogno di studiarsi compiutamente tutto il malloppone sulle EDO per risolversi l'esercizio; infatti ti basta ragionare usando i teoremi classici sulle funzioni continue e quelli del Calcolo Differenziale ed Integrale.

Per non disturbare il tuo lavoro, ti metto in spoiler una soluzione che non fa ricorso alla teoria delle EDO a variabili separabili (che è la tipologia di EDO nella quale rientra la tua).

Supponiamo che la soluzione al problema esista e cerchiamo di ricavarla esplicitamente.

Innanzitutto, notiamo il seguente fatto: dato che cerchiamo una funzione \(y(x)\) derivabile che soddisfi l'equazione differenziale e la condizione iniziale \(y(0)=1/4\), la nostra \(y(x)\) deve essere continua intorno a \(0\) (perché è ivi derivabile) e, poiché \(-1
In conseguenza di ciò abbiamo \(1-y^2(x)>0\) in \(I\) e perciò possiamo dividere il primo ed il secondo membro della precedente per \(\sqrt{1-y^2(x)}\) ottenendo l'uguaglianza:
\[
\frac{y^\prime (x)}{\sqrt{1-y^2(x)}} = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\]
in tutto \(I\).
L'uguaglianza tra le due funzioni \(\frac{y^\prime (x)}{\sqrt{1-y^2(x)}}\) ed \(- \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) implica l'uguaglianza delle loro funzioni integrali di punto iniziale \(0\), ossia implica che:
\[
\int_0^x \frac{y^\prime (t)}{\sqrt{1-y^2(t)}}\ \text{d} t = - \int_0^x \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\ \text{d} t
\]
per \(x\in I\).
Facendo la sostituzione \(\tau=y(t)\) nell'integrale definito al primo membro e tenendo presente che \(y(0)=1/4\), la precedente si riscrive:
\[
\int_{1/4}^{y(x)} \frac{1}{\sqrt{1-\tau^2}}\ \text{d} \tau = - \int_0^x \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\ \text{d} t
\]
e, calcolando esplicitamente gli integrali che vi compaiono, riusciamo a determinare senza troppi patemi la \(y(x)\).

Ottenuta la forma esplicita per \(y(x)\), possiamo fare tutte le considerazioni che vogliamo sul suo comportamento intorno a \(0\).

[TuxDroid]

Credo fosse proprio questo il ragionamento da seguire, in quando da programma le EDO non le abbiamo trattate (anche se ho studiato la dispensa sopra linkata per risolvere questo esercizio)! Ti ringrazio veramente molto!