T.F. Algebra (Non è O.T.)

[wide87]

Ragazzi,
qualcuno potrebbe indicarmi qualche fonte o qualche idea per dimostrare il T.F. Algebra con il Principio di Massimo Modulo per funzioni olomorfe?
So che col Teorema di Liouville si può dimostrare molto elegantemente.. Mi chiedo, devo per caso usare P.M.M. per dimostrare Liouville? Oppure c'è un legame diretto fra P.M.M. e T.F. Algebra?
Aiuto ragazzi, se non fosse domani l'esame, mi sarei cimentato con più calma..
Ho da rispondere sui primi 4 capitoli di Rudin più tutta l'Analisi Complessa.. Non mi considerate il solito chieditore di suggerimenti da compito in classe!
Anche un'idea che accenda in me la scintilla sarà molto gradita!!
Grazie

[dissonance]

C'è un pdf in rete, scritto da Andrea Ferretti, con tutta una raccolta di dimostrazioni del TFA. Purtroppo l'indirizzo ufficiale è ora offline, se mi mandi un indirizzo email te lo spedisco.

[Seneca1]

Si fa un po' la stessa cosa. Sia $p(z)$ un polinomio non costante e supponiamo per assurdo che non abbia radici in $CC$. $q(z) = 1/(p(z))$ è una funzione intera (olomorfa su tutto $CC$). Per il principio del massimo modulo, per ogni $R > 0$,
\[\displaystyle |q(z)| < \max_{\zeta \in \partial B_R (0)} |q(\zeta)| \;\;\;,\;\;\; z \in B_R(0) \]

$ \max_{\zeta \in \partial B_R (0)} |q(\zeta)| = |q(R e^{i \theta})| = 1/|a_k R^k e^(i k \theta) + ... + a_0| = 1/R^k * 1/(|a_k e^(i k \theta) + ... + a_0/R^k|)$, per un certo $\theta \in RR$ e $a_k \ne 0$. Per $R -> +oo$ questo massimo tende a zero. Allora:
\[\displaystyle|q(z)| \le 0 \;\;\;,\;\;\; \zeta \in \partial B_R(0) \]
Da cui $|q(z)| = 0$, assurdo.

Spero sia giusto...