[tex]\overline{z}^{9}=z^{3}|z|^{5}[/tex]

[koloko]

Testo esercizio: trovare il numero di soluzioni dell'equazione
[tex]\overline{z}^{9}=z^{3}|z|^{5}[/tex]
Soluzione ufficiale: https://s27.postimg.org/3l64cv143/00001.jpg
Non capisco il pezzo che dice:

Se invece [tex]|z|=1[/tex] allora [tex]\overline{z}^{9}=z^{-9}[/tex]

[javicemarpe]

If $|z|=1$, then $z=e^{i\theta}$. Then, by Euler's formula and the simetry properties of $sin$, you get that $\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}$.

[koloko]

"javicemarpe":If $|z|=1$, then $z=e^{i\theta}$. Then, by Euler's formula and the simetry properties of $sin$, you get that $\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}$.

Mmh I think this is valid if and only if [tex]\Theta=0[/tex]

[javicemarpe]

No. Try to prove it and you'll see I'm right.

[koloko]

Altri suggerimenti son benvenuti

[Oiram92]

@javicemarpe is right

Leggi qui

[whaks]

"Caterpillar":Altri suggerimenti son benvenuti

Ciao! Provo a metterti tutti i passaggi piano piano, così magari ti risulta più chiaro:

Se tu hai [tex]\overline{z}^{9}=z^{3}|z|^{5}[/tex] allora:

Dalle proprietà degli $ \overline{z} $ sai che $ |z|=|\overline{z}| $

Allora prendi la tua equazione e fai i moduli da entrambe le parti:

A sinistra otterrai: [tex]|\overline{z}^{9}|=|z^{9}|=|z|^9[/tex]
A destra otterrai: [tex]|z^{3}|z|^{5}|=|z|^3|z|^5=|z|^8[/tex]

Adesso devi eguagliare i due membri ''nuovi'' che abbiamo trovato ottendendo l'equazione $ |z|^9=|z|^8 $ che è banalmente equivalente all'equazione $ |z|^9-|z|^8=0 $. Ora raccogliamo un $ |z|^8 $ e otteniamo quindi l'equazione $|z|^8(|z|-1)=0 $ che è una equazione omogenea a due fattori reali (essendo $|z|$ un numero reale).

Dunque sviluppandoli separatamente ottieni:

Dal primo fattore $|z|^8 = 0 hArr |z|=0 hArr z=0 $ che è quindi una prima soluzione della tua equazione originale.

Dal secondo fattore $(|z|-1)=0 hArr |z|=1 $ allora tutte le altre soluzioni $ z $ saranno avranno modulo unitario e saranno quindi della forma $ z =e^(ivartheta)=cos(vartheta)+ isin(vartheta)$ e $ \overline{z}=e^(-ivartheta)=cos(vartheta)- isin(vartheta) $

Tenendo conto di ciò posso applicare queste due semplificazioni alla equazione originale:

— $|z|^5=1 $
— $\overline{z}^{9}=z^(-9) $ perché $ \overline{z}^{9}=cos(9vartheta)-isin(9vartheta)=cos(9vartheta)+isin(-9vartheta) $ perché il seno è dispari e puoi portare dentro il segno - inoltre puoi notare che dalla parità del coseno segue che $cos(9vartheta)=cos(-9vartheta) $ da cui quindi segue che $\overline{ z}^{9}=cos(9vartheta)-isin(9vartheta)=cos(9vartheta)+isin(-9vartheta)=cos(-9vartheta)+isin(-9vartheta)=z^(-9) $

Applicando queste due modifiche alla tua equazione (sempre tenendo conto che le soluzioni che otterremo sono vincolate dalla condizione $ |z|=1 $ ) otteniamo l'equazione: $ z^(-9)=z^3 $ che equivale a $ z^12=1 $ che ha 12 soluzioni complesse.

Sommando a queste 12 la soluzione trovata prima dal vincolo $|z|=0$ puoi concludere che l'equazione avrà 13 soluzioni.