[tex]\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{1-\sin(x)}}{4x^{2}-\pi^{2}}[/tex]
Sto svolgendo il seguente esercizio
[tex]\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{1-\sin(x)}}{4x^{2}-\pi^{2}}[/tex]
ricordando che le dispense del prof sconsigliano di applicare de l'Hopital con leggerezza, ho cercato prima di sviluppare con le serie di Taylor il numeratore e denominatore. Tuttavia vedendo che per ottenere un qualcosa che non si annullasse dovevo salire troppo di ordine, ho provato ad applicare de l'Hopital, anche qui incappando nello stesso problema.
Come mi suggerite di procedere? Grazie
[tex]\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{1-\sin(x)}}{4x^{2}-\pi^{2}}[/tex]
ricordando che le dispense del prof sconsigliano di applicare de l'Hopital con leggerezza, ho cercato prima di sviluppare con le serie di Taylor il numeratore e denominatore. Tuttavia vedendo che per ottenere un qualcosa che non si annullasse dovevo salire troppo di ordine, ho provato ad applicare de l'Hopital, anche qui incappando nello stesso problema.
Come mi suggerite di procedere? Grazie
Risposte
Ciao;
Decomponi $4x^2-pi^2 = (2x-pi)(2x+pi)$ e poi fai il cambio di variabile $2x-pi=t$
Dimmi se funziona
Decomponi $4x^2-pi^2 = (2x-pi)(2x+pi)$ e poi fai il cambio di variabile $2x-pi=t$
Dimmi se funziona
"Ziben":
Ciao;
Decomponi $4x^2-pi^2 = (2x-pi)(2x+pi)$ e poi fai il cambio di variabile $2x-pi=t$
Dimmi se funziona
Sempre uguale
[tex]x=\frac{t+\pi}{2}[/tex]
il limite diventa per $t$ che tende a zero
Infine
[tex](2x-\pi)(2x+\pi)=(t+\pi-\pi)(t+\pi+\pi)=t(t+2\pi)[/tex]
e torniamo al punto di partenza
$sqrt(1-sin(x)) = sqrt(1-sin(t/2+pi/2)) = sqrt(1-sin(t/2)cos(pi/2)-cos(t/2)sin(pi/2)) = sqrt(1-cos(t/2))$
Il limite diventa
$\lim_(t->0) sqrt(1-cos(t/2))/t*1/(t+2pi)$
Adesso lo vedi?
Il limite diventa
$\lim_(t->0) sqrt(1-cos(t/2))/t*1/(t+2pi)$
Adesso lo vedi?
Razionalizzando avremo $lim_(x->((pi)/2)^-)(sqrt(1-sinx)sqrt(1+sinx))/(4(x-(pi)/2)(x+(pi)/2)sqrt(1+sinx))$ $=limsqrt(1-sin^2x)/(4(pi)(x-(pi)/2)sqrt(2))$ $=limcosx/(4(pi)sqrt(2)(x-(pi)/2)$ ma per $x->((pi)/2)^-$ si ha che $cosx$ risulta asintotico all'arco $((pi)/2-x)$ sostituendo si ha infine $lim-(x-(pi)/2)/(4(pi)sqrt(2)(x-(pi)/2))$ $=-1/(4(pi)sqrt2)$
mentre $lim_(x->((pi)/2)^+)sqrt(1-sinx)/(4x^2-(pi)^2)$ $=lim(x-(pi)/2)/(4(pi)sqrt(2)(x-(pi)/2))=+1/(4(pi)sqrt(2))$ e questo perche per $x->((pi)/2)^+$ il $cosx$ risulta asintotico ad $(x-(pi)/2)$ pertanto il limite per $x->(pi)/2$ non esiste!
mentre $lim_(x->((pi)/2)^+)sqrt(1-sinx)/(4x^2-(pi)^2)$ $=lim(x-(pi)/2)/(4(pi)sqrt(2)(x-(pi)/2))=+1/(4(pi)sqrt(2))$ e questo perche per $x->((pi)/2)^+$ il $cosx$ risulta asintotico ad $(x-(pi)/2)$ pertanto il limite per $x->(pi)/2$ non esiste!
A me torna diverso:
$ \lim_(t->0) sqrt(1-cos(t/2))/t*1/(t+2pi) = \lim_(t->0) sqrt(1-cos(t/2))/(2t/2)*1/(t+2pi) = \lim_(t->0) 1/2sqrt((1-cos(t/2))/(t/2)^2)*1/(t+2pi)$
Ricordando il limite notevole $\lim_(x->0) (1-cosx)/x^2=1/2$
ottengo:
$ \lim_(t->0) 1/2sqrt((1-cos(t/2))/(t/2)^2)*1/(t+2pi) = 1/2*1/sqrt(2)*1/(2pi) = 1/(4pisqrt(2))$
cioè con il segno $+$
Infatti $sqrt(cos^2(x)) = |cosx|$
per cui se $t->0^+$ sarà $+$ e $-$ da sinistra
Scusate ho fatto un casino tra i miei calcoli e quelli di certo più eleganti di francicko
$ \lim_(t->0) sqrt(1-cos(t/2))/t*1/(t+2pi) = \lim_(t->0) sqrt(1-cos(t/2))/(2t/2)*1/(t+2pi) = \lim_(t->0) 1/2sqrt((1-cos(t/2))/(t/2)^2)*1/(t+2pi)$
Ricordando il limite notevole $\lim_(x->0) (1-cosx)/x^2=1/2$
ottengo:
$ \lim_(t->0) 1/2sqrt((1-cos(t/2))/(t/2)^2)*1/(t+2pi) = 1/2*1/sqrt(2)*1/(2pi) = 1/(4pisqrt(2))$
cioè con il segno $+$
Infatti $sqrt(cos^2(x)) = |cosx|$
per cui se $t->0^+$ sarà $+$ e $-$ da sinistra
Scusate ho fatto un casino tra i miei calcoli e quelli di certo più eleganti di francicko
x@Ziben
Comunque è corretto anche il tuo svolgimento, infatti:
$(1/(2 (pi)))lim_(t->0)sqrt(1-cos (t/2))/t $ basta osservare che
$lim_(t->0^+)sqrt (1-cos (t/2))/t=1/(2sqrt (2) )$ mentre
$lim_(t->0^-)sqrt (1-cos (t/2))/t=-1/(2sqrt(2) )$
Comunque è corretto anche il tuo svolgimento, infatti:
$(1/(2 (pi)))lim_(t->0)sqrt(1-cos (t/2))/t $ basta osservare che
$lim_(t->0^+)sqrt (1-cos (t/2))/t=1/(2sqrt (2) )$ mentre
$lim_(t->0^-)sqrt (1-cos (t/2))/t=-1/(2sqrt(2) )$
Grazie ad entrambi. Sto provando con la razionalizzazione, tuttavia mi interessa sapere quale relazione trigonometrica si è usato in questo passaggio
"Ziben":
$sqrt(1-sin(t/2+pi/2)) = sqrt(1-sin(t/2)cos(pi/2)-cos(t/2)sin(pi/2)) = sqrt(1-cos(t/2))$
ciao,
ho usato a formula:
$sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta)+sin(\beta)cos(\alpha)$
x@francicko
grazie del supporto
ho usato a formula:
$sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta)+sin(\beta)cos(\alpha)$
x@francicko
grazie del supporto
"francicko":
Razionalizzando avremo $lim_(x->((pi)/2)^-)(sqrt(1-sinx)sqrt(1+sinx))/(4(x-(pi)/2)(x+(pi)/2)sqrt(1+sinx))$ [...]
In base a quale assunzione al denominatore è scomparso $(x+(pi)/2)$?
Nel termine $(x+(pi)/2)$ posso sostituire $x=(pi)/2$ , ottenendo così $((pi)/2+(pi)/2)=pi $, invece il termine $(x-(pi)/2)$ che e' responsabile della forma indeterminata viene eliminato con la semplificazione, da qui si ottiene il valore del limite.
.
.
Stavo svolgendo gli esercizi delle vecchie discussioni, quando mi sono accorto di non aver mai terminato questo esercizio, perciò eccomi qui.
Del messaggio
non ho capito il passaggio $sqrt(1-sin(t/2)cos(pi/2)-cos(t/2)sin(pi/2)) = sqrt(1-cos(t/2))$
Del messaggio
"Ziben":
$sqrt(1-sin(x)) = sqrt(1-sin(t/2+pi/2)) = sqrt(1-sin(t/2)cos(pi/2)-cos(t/2)sin(pi/2)) = sqrt(1-cos(t/2))$
Il limite diventa
$\lim_(t->0) sqrt(1-cos(t/2))/t*1/(t+2pi)$
Adesso lo vedi?
non ho capito il passaggio $sqrt(1-sin(t/2)cos(pi/2)-cos(t/2)sin(pi/2)) = sqrt(1-cos(t/2))$
Ciao,
semplicemente $cos(pi/2) = 0$ e $sin(pi/2)=1$
semplicemente $cos(pi/2) = 0$ e $sin(pi/2)=1$
Bene ora ho risolto! Per completezza allego lo svolgimento integrale dell'esercizio. Grazie ancora
[tex]\underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin(x)}}{4x^{2}-\pi^{2}}[/tex]scomponiamo il denominatore[tex]4x^{2}-\pi^{2}\Rightarrow4x^{2}=\pi^{2}\Rightarrow x^{2}=\frac{\pi^{2}}{4}\Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac{\pi^{2}}{4}}\Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{2}[/tex]
poi per avere una forma più comoda da manipolare, cerchiamo di togliere il 2 al denominatore[tex]x=\pm\frac{\pi}{2}\Rightarrow2x=\pm\pi[/tex]
quindi [tex]4x^{2}-\pi^{2}=\left(2x+\pi\right)\left(2x-\pi\right)[/tex]
quindi[tex]\underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin\left(x\right)}}{4x^{2}-\pi^{2}}=\underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin\left(x\right)}}{\left(2x+\pi\right)\left(2x-\pi\right)}[/tex]
facciamo un campo di variabile [tex]t=2x-\pi\qquad e\qquad x=\frac{t+\pi}{2}[/tex]
quindi [tex]\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin\left(\frac{t+\pi}{2}\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}\Rightarrow\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{2}\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}[/tex]
applico la formula di addizione[tex]\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\left(\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos\left(\frac{t}{2}\right)\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}[/tex]
ora dato che [tex]\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0[/tex] e [tex]\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1[/tex] allora [tex]\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\cos\left(\frac{t}{2}\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}[/tex]
applico lo sviluppo di Taylor del coseno [tex]\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\left(1-\left(\frac{t}{2}\right)^{2}\cdot\frac{1}{2}+o\left(t^{2}\right)\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}=\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{\frac{t^{2}}{8}+o\left(t^{2}\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}=\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\frac{t}{\sqrt{8}}+o\left(t\right)}{t\left(t+2\pi\right)}=\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{1}{\sqrt{8}\left(t+2\pi\right)}=\frac{1}{2\sqrt{8}\pi}[/tex]
[tex]\underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin(x)}}{4x^{2}-\pi^{2}}[/tex]scomponiamo il denominatore[tex]4x^{2}-\pi^{2}\Rightarrow4x^{2}=\pi^{2}\Rightarrow x^{2}=\frac{\pi^{2}}{4}\Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac{\pi^{2}}{4}}\Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{2}[/tex]
poi per avere una forma più comoda da manipolare, cerchiamo di togliere il 2 al denominatore[tex]x=\pm\frac{\pi}{2}\Rightarrow2x=\pm\pi[/tex]
quindi [tex]4x^{2}-\pi^{2}=\left(2x+\pi\right)\left(2x-\pi\right)[/tex]
quindi[tex]\underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin\left(x\right)}}{4x^{2}-\pi^{2}}=\underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin\left(x\right)}}{\left(2x+\pi\right)\left(2x-\pi\right)}[/tex]
facciamo un campo di variabile [tex]t=2x-\pi\qquad e\qquad x=\frac{t+\pi}{2}[/tex]
quindi [tex]\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin\left(\frac{t+\pi}{2}\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}\Rightarrow\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{2}\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}[/tex]
applico la formula di addizione[tex]\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\left(\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos\left(\frac{t}{2}\right)\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}[/tex]
ora dato che [tex]\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0[/tex] e [tex]\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1[/tex] allora [tex]\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\cos\left(\frac{t}{2}\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}[/tex]
applico lo sviluppo di Taylor del coseno [tex]\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\left(1-\left(\frac{t}{2}\right)^{2}\cdot\frac{1}{2}+o\left(t^{2}\right)\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}=\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{\frac{t^{2}}{8}+o\left(t^{2}\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}=\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\frac{t}{\sqrt{8}}+o\left(t\right)}{t\left(t+2\pi\right)}=\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{1}{\sqrt{8}\left(t+2\pi\right)}=\frac{1}{2\sqrt{8}\pi}[/tex]
"Caterpillar":
applico lo sviluppo di Taylor del coseno \( \underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\left(1-\left(\frac{t}{2}\right)^{2}\cdot\frac{1}{2}+o\left(t^{2}\right)\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}=\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{\frac{t^{2}}{8}+o\left(t^{2}\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}=\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\frac{t}{\sqrt{8}}+o\left(t\right)}{t\left(t+2\pi\right)}=\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{1}{\sqrt{8}\left(t+2\pi\right)}=\frac{1}{2\sqrt{8}\pi} \)
quando semplifichi lo sviluppo di taylor dovresti avere $ root2(t^2)=|t| $ e questo implica che i due limiti, destro e sinistro, non coincidono, per cui il limite non esiste
Giusto, ho ripassato bene la presenza di valori assoluti nel caso di elevazioni al quadrato e radici quadrate, infine ripassato la presenza di valori assoluti nei limiti. Riscrivo la procedura corretta
[tex]\underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin(x)}}{4x^{2}-\pi^{2}}[/tex]scomponiamo il denominatore[tex]4x^{2}-\pi^{2}\Rightarrow4x^{2}=\pi^{2}\Rightarrow x^{2}=\frac{\pi^{2}}{4}\Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac{\pi^{2}}{4}}\Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{2}[/tex]
poi per avere una forma più comoda da manipolare, cerchiamo di togliere il 2 al denominatore[tex]x=\pm\frac{\pi}{2}\Rightarrow2x=\pm\pi[/tex]
quindi [tex]4x^{2}-\pi^{2}=\left(2x+\pi\right)\left(2x-\pi\right)[/tex]
quindi[tex]\underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin\left(x\right)}}{4x^{2}-\pi^{2}}=\underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin\left(x\right)}}{\left(2x+\pi\right)\left(2x-\pi\right)}[/tex]
facciamo un campo di variabile [tex]t=2x-\pi\qquad e\qquad x=\frac{t+\pi}{2}[/tex]
quindi [tex]\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin\left(\frac{t+\pi}{2}\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}\Rightarrow\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{2}\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}[/tex]
applico la formula di addizione[tex]\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\left(\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos\left(\frac{t}{2}\right)\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}[/tex]
ora dato che [tex]\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0[/tex] e [tex]\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1[/tex] allora [tex]\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\cos\left(\frac{t}{2}\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}[/tex]
applico lo sviluppo di Taylor del coseno [tex]\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\left(1-\left(\frac{t}{2}\right)^{2}\cdot\frac{1}{2}+o\left(t^{2}\right)\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}=\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{\frac{t^{2}}{8}+o\left(t^{2}\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}=\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\frac{\left|t\right|}{\sqrt{8}}+o\left(\left|t\right|\right)}{t\left(t+2\pi\right)}[/tex]
quindi eseguo i limiti destro e sinistro
[tex]\underset{t\rightarrow0^{+}}{\lim}\frac{\frac{t}{\sqrt{8}}+o\left(\left|t\right|\right)}{t\left(t+2\pi\right)}=\underset{t\rightarrow0^{+}}{\lim}\frac{1}{\sqrt{8}\left(t+2\pi\right)}=\frac{1}{2\sqrt{8}\pi}[/tex]
e
[tex]\underset{t\rightarrow0^{-}}{\lim}\frac{\frac{-t}{\sqrt{8}}+o\left(\left|t\right|\right)}{t\left(t+2\pi\right)}=\underset{t\rightarrow0^{-}}{\lim}-\frac{1}{\sqrt{8}\left(t+2\pi\right)}=-\frac{1}{2\sqrt{8}\pi}[/tex]
i risultati sono diversi quindi il limite non esiste
[tex]\underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin(x)}}{4x^{2}-\pi^{2}}[/tex]scomponiamo il denominatore[tex]4x^{2}-\pi^{2}\Rightarrow4x^{2}=\pi^{2}\Rightarrow x^{2}=\frac{\pi^{2}}{4}\Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac{\pi^{2}}{4}}\Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{2}[/tex]
poi per avere una forma più comoda da manipolare, cerchiamo di togliere il 2 al denominatore[tex]x=\pm\frac{\pi}{2}\Rightarrow2x=\pm\pi[/tex]
quindi [tex]4x^{2}-\pi^{2}=\left(2x+\pi\right)\left(2x-\pi\right)[/tex]
quindi[tex]\underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin\left(x\right)}}{4x^{2}-\pi^{2}}=\underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin\left(x\right)}}{\left(2x+\pi\right)\left(2x-\pi\right)}[/tex]
facciamo un campo di variabile [tex]t=2x-\pi\qquad e\qquad x=\frac{t+\pi}{2}[/tex]
quindi [tex]\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin\left(\frac{t+\pi}{2}\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}\Rightarrow\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\sin\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{2}\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}[/tex]
applico la formula di addizione[tex]\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\left(\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos\left(\frac{t}{2}\right)\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}[/tex]
ora dato che [tex]\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0[/tex] e [tex]\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1[/tex] allora [tex]\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\cos\left(\frac{t}{2}\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}[/tex]
applico lo sviluppo di Taylor del coseno [tex]\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{1-\left(1-\left(\frac{t}{2}\right)^{2}\cdot\frac{1}{2}+o\left(t^{2}\right)\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}=\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt{\frac{t^{2}}{8}+o\left(t^{2}\right)}}{t\left(t+2\pi\right)}=\underset{t\rightarrow0}{\lim}\frac{\frac{\left|t\right|}{\sqrt{8}}+o\left(\left|t\right|\right)}{t\left(t+2\pi\right)}[/tex]
quindi eseguo i limiti destro e sinistro
[tex]\underset{t\rightarrow0^{+}}{\lim}\frac{\frac{t}{\sqrt{8}}+o\left(\left|t\right|\right)}{t\left(t+2\pi\right)}=\underset{t\rightarrow0^{+}}{\lim}\frac{1}{\sqrt{8}\left(t+2\pi\right)}=\frac{1}{2\sqrt{8}\pi}[/tex]
e
[tex]\underset{t\rightarrow0^{-}}{\lim}\frac{\frac{-t}{\sqrt{8}}+o\left(\left|t\right|\right)}{t\left(t+2\pi\right)}=\underset{t\rightarrow0^{-}}{\lim}-\frac{1}{\sqrt{8}\left(t+2\pi\right)}=-\frac{1}{2\sqrt{8}\pi}[/tex]
i risultati sono diversi quindi il limite non esiste
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