[tex]\int\sin^{2}\left(x\right)dx[/tex] trasformazione dell'integrando vs integrazione per parti
Il libro "Esercitazioni di Matematica 1° volume - parte seconda" di Paolo Marcellini - Carlo Sbordone
contiene i due seguenti integrali svolti: il primo svolto con la semplice trasformazione dell'integrando, il secondo con il metodo dell'integrazione per parti
1°
[tex]\int\sin^{5}\left(x\right)\cos\left(x\right)dx=\int\sin^{5}\left(x\right)\cdot D\left(\sin\left(x\right)\right)dx=\frac{1}{6}\sin^{6}\left(x\right)+c[/tex]
2°[tex]\int\sin^{2}\left(x\right)dx=\int\sin\left(x\right)D\left(-\cos\left(x\right)\right)dx=-\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)+\int\cos^{2}\left(x\right)dx=[/tex]
[tex]=-\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)+\int\left(1-\sin^{2}\left(x\right)\right)dx=[/tex]
[tex]=-\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)+\int dx-\int\sin^{2}\left(x\right)dx\Longrightarrow[/tex]
[tex]\Longrightarrow\int\sin^{2}\left(x\right)dx=-\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)+\int dx-\int\sin^{2}\left(x\right)dx=\left(x-\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)\right)/2+c[/tex]
A parte la particolare nomenclatura utilizzata (D) quando si portano le funzioni nel differenziale, mi chiedevo se non fosse possibile svolgere il secondo integrale applicando una trasformazione dell'integrando nella seguente maniera
[tex]\int\sin^{2}\left(x\right)dx=\int\sin\left(x\right)\sin\left(x\right)dx=\int\sin\left(x\right)d\left(-\cos\left(x\right)\right)=-\int\sin\left(x\right)d\left(\cos\left(x\right)\right)=-\frac{\cos^{2}\left(x\right)}{2}[/tex]
Grazie
contiene i due seguenti integrali svolti: il primo svolto con la semplice trasformazione dell'integrando, il secondo con il metodo dell'integrazione per parti
1°
[tex]\int\sin^{5}\left(x\right)\cos\left(x\right)dx=\int\sin^{5}\left(x\right)\cdot D\left(\sin\left(x\right)\right)dx=\frac{1}{6}\sin^{6}\left(x\right)+c[/tex]
2°[tex]\int\sin^{2}\left(x\right)dx=\int\sin\left(x\right)D\left(-\cos\left(x\right)\right)dx=-\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)+\int\cos^{2}\left(x\right)dx=[/tex]
[tex]=-\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)+\int\left(1-\sin^{2}\left(x\right)\right)dx=[/tex]
[tex]=-\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)+\int dx-\int\sin^{2}\left(x\right)dx\Longrightarrow[/tex]
[tex]\Longrightarrow\int\sin^{2}\left(x\right)dx=-\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)+\int dx-\int\sin^{2}\left(x\right)dx=\left(x-\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)\right)/2+c[/tex]
A parte la particolare nomenclatura utilizzata (D) quando si portano le funzioni nel differenziale, mi chiedevo se non fosse possibile svolgere il secondo integrale applicando una trasformazione dell'integrando nella seguente maniera
[tex]\int\sin^{2}\left(x\right)dx=\int\sin\left(x\right)\sin\left(x\right)dx=\int\sin\left(x\right)d\left(-\cos\left(x\right)\right)=-\int\sin\left(x\right)d\left(\cos\left(x\right)\right)=-\frac{\cos^{2}\left(x\right)}{2}[/tex]
Grazie
Risposte
Ciao Caterpillar,
No, perché la derivata deve essere della stessa funzione, cioè nel caso del 1° integrale sta sfruttando la regola generale seguente:
$int [f(x)]^{\alpha} f'(x) dx = frac{[f(x)]^{alpha + 1}}{\alpha + 1} + c $
"Caterpillar":
mi chiedevo se non fosse possibile svolgere il secondo integrale applicando una trasformazione dell'integrando nella seguente maniera
No, perché la derivata deve essere della stessa funzione, cioè nel caso del 1° integrale sta sfruttando la regola generale seguente:
$int [f(x)]^{\alpha} f'(x) dx = frac{[f(x)]^{alpha + 1}}{\alpha + 1} + c $
Salve Caterpillar il mio consiglio è quello di evitare l'integrazione per parti ma di usare le formule trigonometriche per risolvere il seguente integrale in particolare mi riferisco alla seguente trasformazione:
$ cos(2x)=cos^2(x)-sen^2(x) $
ricordando che $ cos^2(x)=1-sen^2(x) $ sostituendo si ottiene
$ cos(2x)=1-2sen^2(x) $
che riscritta è $ (1-cos(2x))/2=sen^2(x) $
dopodiché l'integrale diventa:
$ int sen^2(x)dx= $ $ int (1-cos(2x))/2dx $ = $ int 1/2dx-int1/2cos(2x)dx=1/2x-1/4sen(2x)+c $
inoltre $ sen(2x)=2sen(x)cos(x) $ è ti ritrovi perfettamente con la soluzione.
(Come ti faceva notare giustamente pilloeffe il tuo tentativo è sbagliato .)
A mio avviso in questo modo il calcolo dell'integrale finale diventa molto più agevole tuttavia nulla ti vieta di calcolarlo per parti.
$ cos(2x)=cos^2(x)-sen^2(x) $
ricordando che $ cos^2(x)=1-sen^2(x) $ sostituendo si ottiene
$ cos(2x)=1-2sen^2(x) $
che riscritta è $ (1-cos(2x))/2=sen^2(x) $
dopodiché l'integrale diventa:
$ int sen^2(x)dx= $ $ int (1-cos(2x))/2dx $ = $ int 1/2dx-int1/2cos(2x)dx=1/2x-1/4sen(2x)+c $
inoltre $ sen(2x)=2sen(x)cos(x) $ è ti ritrovi perfettamente con la soluzione.
(Come ti faceva notare giustamente pilloeffe il tuo tentativo è sbagliato .)
A mio avviso in questo modo il calcolo dell'integrale finale diventa molto più agevole tuttavia nulla ti vieta di calcolarlo per parti.
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