Test della derivata prima per classificare un punto di estremo in cui $f$ non è derivabile?

[midu107]

Come conseguenza del Teorema di Lagrange si ha il test della derivata prima che permette di classificare un qualunque punto stazionario $c$ (cioè dove $f'(c)=0$) studiando il segno della derivata a destra e a sinistra.
Mi è venuto un dubbio che non sono riuscito a risolvere sul mio libro: un punto di non derivabilità può benissimo essere punto di estremo per $f$, ma per classificarlo eventualmente è lecito usare il test della derivata prima, se la funzione è almeno continua nel punto $c$ di non derivabilità?

Vale a dire, è corretto che se:

.$f$ è continua su $[a,b]$
.$f$ è derivabile in $(a,c)\cup (c,b)$

Allora se $f'(x)\leq0$ a destra di $c$ e $f'(c)\geq0$ a sinistra $c$ è punto di minimo (e in caso contrario massimo)?

Se così è, il principio si basa sempre sul teorema di Lagrange? Per cui è davvero necessario che la funzione, sebbene non derivabile, sia comunque continua nel punto $c$?

Vi ringrazio in anticipo

[Rigel1]

"midu107":Vale a dire, è corretto che se:

.$f$ è continua su $[a,b]$
.$f$ è derivabile in $(a,c)\cup (c,b)$

Allora se $f'(x)\leq0$ a destra di $c$ e $f'(c)\geq0$ a sinistra $c$ è punto di minimo (e in caso contrario massimo)?

Sì, è corretto. Infatti, poiché \(f\) è continua, dalle ipotesi sul segno della derivata segue che \(f\) è monotona decrescente in \([a,c]\) e monotona crescente in \([c,b]\); da qui segue che \(c\) è un punto di minimo.

La continuità in \(c\) è necessaria; ad esempio, la funzione
\[
f(x) = \begin{cases}
1-x, & \text{se}\ x \leq 0,\\
x, &\text{se}\ x > 0
\end{cases}
\]
soddisfa tutte le altre ipotesi (con \(c=0\)) ma non ha un punto di minimo in \(0\).

[midu107]

Grazie mille per la risposta!!

Se posso chiederti, è una piccolezza ma non vorrei aver frainteso, se invece di dire che era monotona su $[a,c]$ e su $[c,b]$, avessi detto che è monotona su $(a,c)$ e $(c,b)$ sarebbe stato lo stesso vero?

[Rigel1]

"midu107":
Se posso chiederti, è una piccolezza ma non vorrei aver frainteso, se invece di dire che era monotona su $[a,c]$ e su $[c,b]$, avessi detto che è monotona su $(a,c)$ e $(c,b)$ sarebbe stato lo stesso vero?

L'affermazione è vera; però, solo da ciò non puoi concludere (senza usare la continuità in \(c\)) che il punto \(c\) è di minimo (vedi l'esempio).
La medesima affermazione fatta sui chiusi (che già usa la continuità), invece, ti permette di farlo.