Tesi primo teorema della media integrale
Salve a tutti,
sto avendo qualche problemino dovuto alle tesi di alcuni teoremi, tra cui il "Primo Teorema della Media Integrale".
Il mio professore introduce il teorema in questo modo:
Sia f(x) una funzione limitata in [a,b] ed integrabile secondo Riemann in [a,b].
Allora, scusatemi l'ignoranza, io sapevo che una funzione definita su di un intervallo chiuso e limitato è dotata di massimo e minimo( Teorema di Weierstrass )
Essendo quindi compresa fra massimo e minimo, la funzione non è automaticamente limitata? Se fosse come dico io, quale bisogno c'è di iniziare il teorema prendendo una funzione limitata?
Grazie anticipatamente, e scusatemi se ho urtato la sensibilità di matematici sicuramente più capaci di me
sto avendo qualche problemino dovuto alle tesi di alcuni teoremi, tra cui il "Primo Teorema della Media Integrale".
Il mio professore introduce il teorema in questo modo:
Sia f(x) una funzione limitata in [a,b] ed integrabile secondo Riemann in [a,b].
Allora, scusatemi l'ignoranza, io sapevo che una funzione definita su di un intervallo chiuso e limitato è dotata di massimo e minimo( Teorema di Weierstrass )
Essendo quindi compresa fra massimo e minimo, la funzione non è automaticamente limitata? Se fosse come dico io, quale bisogno c'è di iniziare il teorema prendendo una funzione limitata?
Grazie anticipatamente, e scusatemi se ho urtato la sensibilità di matematici sicuramente più capaci di me
Risposte
"Fabiowd1990":
Allora, scusatemi l'ignoranza, io sapevo che una funzione definita su di un intervallo chiuso e limitato è dotata di massimo e minimo( Teorema di Weierstrass )
Una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato.
"Seneca":
Una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato.
Innanzitutto grazie per la risposta velocissima.
Quindi dicendo "funzione limitata in [a,b]" il professore intendeva che la funzione può anche non essere continua, basta che sia limitata(senza dunque il bisogno di scomodare il teorema di Weierstrass) per poter dimostrare questo teorema?
Grazie ancora.
Forse è meglio che enunci il teorema.
Dipende da cosa vuole dimostrare. Io conosco un solo teorema della media per gli integrali, quindi non so dirti. Puoi o postare l'enunciato con annessa dimostrazione oppure controllare da te se nella dimostrazione si usa l'ipotesi che $f$ è continua.
Naturalmente se $f$ continua in $[a,b]$ allora $f$ è limitata su $[a,b]$. Non è vero il viceversa.
Naturalmente se $f$ continua in $[a,b]$ allora $f$ è limitata su $[a,b]$. Non è vero il viceversa.
Primo Teorema della media:
Sia f(x) una funzione limitata in [a,b] ed integrabile secondo Riemann in [a,b], per cui
m= inf f(x) in [a,b]
M= sup f(x) in [a,b]
allora $ m(b-a)<= \int_{a}^{b} f(x) dx <=M(b-a)$
Sia f(x) una funzione limitata in [a,b] ed integrabile secondo Riemann in [a,b], per cui
m= inf f(x) in [a,b]
M= sup f(x) in [a,b]
allora $ m(b-a)<= \int_{a}^{b} f(x) dx <=M(b-a)$
Mi sembra che non ci sia bisogno che sia continua.
$m <= f(x) <= M$ $Rightarrow$ $ \int_{a}^{b} m dx <= \int_{a}^{b} f(x) dx <= \int_{a}^{b} M dx$
donde la tesi. Ti basta l'ipotesi più generale della limitatezza.
$m <= f(x) <= M$ $Rightarrow$ $ \int_{a}^{b} m dx <= \int_{a}^{b} f(x) dx <= \int_{a}^{b} M dx$
donde la tesi. Ti basta l'ipotesi più generale della limitatezza.
Grazie mille ad entrambi!
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