Terzo dubbio sugli integrali impropri
Ulteriore dubbio.. 
: $int_{0}^{+infty} logx/(x^(9/10)*(1-x)^(1/5)*(2-sen(sqrtx)))$.. Credo di avere capito come comportarmi in 0 e in 1.. in 0 uso Taylor e poi la gerarchia di infinitesimi.. in 1 credo di dover considerare x^9/10 e $(2-sqrt(x))$ come costanti e considerare come vincolanti per la convergenza solo $logx$ e $(1-x)^(1/5)$ e a $+infty$ come mi comporto?Mi verrebbe da dire che a $+infty$ $(2-sen(sqrtx))$ oscilla tra -3 e -1 quindi è una costante negativa e si può anteporre all'integrale.. di conseguenza il resto dell'integrale mi pare divergere.. essendoci una costante negativa diverge negativamente? E inoltre bisogna precisare sempre se un integrale diverge positivamente o negativamente? O è sufficiente dire che diverge? Però questa cosa del fatto che $(2-sen(sqrt(x))$ non mi convince.. è vero che oscilla tra 2 valori negativi ma non si assesta.. grazie in anticipo per l'aiuto 
: $int_{0}^{+infty} logx/(x^(9/10)*(1-x)^(1/5)*(2-sen(sqrtx)))$.. Credo di avere capito come comportarmi in 0 e in 1.. in 0 uso Taylor e poi la gerarchia di infinitesimi.. in 1 credo di dover considerare x^9/10 e $(2-sqrt(x))$ come costanti e considerare come vincolanti per la convergenza solo $logx$ e $(1-x)^(1/5)$ e a $+infty$ come mi comporto?Mi verrebbe da dire che a $+infty$ $(2-sen(sqrtx))$ oscilla tra -3 e -1 quindi è una costante negativa e si può anteporre all'integrale.. di conseguenza il resto dell'integrale mi pare divergere.. essendoci una costante negativa diverge negativamente? E inoltre bisogna precisare sempre se un integrale diverge positivamente o negativamente? O è sufficiente dire che diverge? Però questa cosa del fatto che $(2-sen(sqrt(x))$ non mi convince.. è vero che oscilla tra 2 valori negativi ma non si assesta.. grazie in anticipo per l'aiuto
Risposte
con lo schema dell'esercizio di prima prova a rivedere anche questo integrale.
hint: quando valuti in 1 stai attento che $logx$ gioca un ruolo fondamentale
hint: quando valuti in 1 stai attento che $logx$ gioca un ruolo fondamentale
Ho capito perché logx gioca un ruolo fondamentale. Ma se nella risoluzione va a denominatore ha come esponente -1 e avevdo come esponente di (1-x) 1/5 non dovrebbe convergere indipendentemente dall'esponente di logx?
non mi riferivo al comportamento nè all'infinito nè a zero, dove tutto si sistema. è fondamentale in 1 perchè deve essere sviluppato asintoticamente e questo ha delle conseguenze sulle conclusioni che trai.
ma asintoticamente vale a dire usando Taylor? Quindi è asintotico a (x-1)?
"Appinmate":
ma asintoticamente vale a dire usando Taylor?
sostanzialmente è Taylor al primo ordine. è una riscrittura dei limiti notevi in pratica.
"Appinmate":
Quindi è asintotico a (x-1)?
esattamente. e se raccogli un meno dentro a quella parentesi ti accorgerai, se non l'hai già fatto, che l'esponente di 1-x viene modificato
Ho capito, grazie mille mille mille 
quindi la regola del denominatore se hai logx elevato a qualche numero vale solo in zero oppure nel caso in cui avessi $log(x-1)$ in questo caso .. giusto?
quindi la regola del denominatore se hai logx elevato a qualche numero vale solo in zero oppure nel caso in cui avessi $log(x-1)$ in questo caso .. giusto?
Non ho però ancora capito come trattare in questo caso la convergenza/divergenza a $+infty$..
se non dico una fesseria come per il comportamento di x e di $(x-a)^(alpha)$ puoi valutare anche $log(x-a)$. nota però che NON è questo il caso. tu in questo esercizio non hai $log(x-1)$ ma, asintoticamente, solo il (x-1). sono due cose diverse
per il caso $+oo$ la funzione integranda è asintotica a $-logx / (x^(9/10)*x^(1/5)*c)$, dunque...?
ps: mi permetto un piccolo consiglio: studia ed impara a far bene gli sviluppi asintotici (ed eventualmente Taylor) perchè come già detto la stragrande maggioranza delle volte devi usare il confronto asintotico
per il caso $+oo$ la funzione integranda è asintotica a $-logx / (x^(9/10)*x^(1/5)*c)$, dunque...?
ps: mi permetto un piccolo consiglio: studia ed impara a far bene gli sviluppi asintotici (ed eventualmente Taylor) perchè come già detto la stragrande maggioranza delle volte devi usare il confronto asintotico
Grazie mille per il consiglio,lo seguirò. Ma ho ancora una domanda da farle, scusi il disturbo.. ma a $+infty$ non considero il $2-senx$ perché è una quantità negativa limitata? Quindi l'integrale diverge negativamente? E se al posto di $2-senx$ avvessi solo $senx$ sarebbe influente nel comportamento a $+infty$? Perché non saprei dire se diverge negativamente o positivamente giusto?
non la considero perchè non crea a problemi (non esplode all'infinito).
limitata si ma negativa non mi sembra: il seno varia tra -1 ed 1 e quindi al massimo arrivi ad avere $2-1=1>0$
se avessi solo $sinx$ mi verrebbe da dire che la storia si complica. in genere quando l'integrando è oscillante le cose sono un po' più complicate (vedi per esempio dimostrare che $int_(0)^(+oo)sinx /x dx$ è convergente). quindi non saprei scioglierti questo dubbio e non so nemmeno se sia possibile in generale, mi spiace
"Appinmate":
quantità negativa limitata
limitata si ma negativa non mi sembra: il seno varia tra -1 ed 1 e quindi al massimo arrivi ad avere $2-1=1>0$
"Appinmate":
E se al posto di 2−senx avvessi solo senx sarebbe influente nel comportamento a +∞? Perché non saprei dire se diverge negativamente o positivamente giusto?
se avessi solo $sinx$ mi verrebbe da dire che la storia si complica. in genere quando l'integrando è oscillante le cose sono un po' più complicate (vedi per esempio dimostrare che $int_(0)^(+oo)sinx /x dx$ è convergente). quindi non saprei scioglierti questo dubbio e non so nemmeno se sia possibile in generale, mi spiace
Perfetto! Grazie mille ancora per la disponibiltà.... però non so se diverge à più o meno infinito vero?
"cooper":
per il caso $ +oo $ la funzione integranda è asintotica a $ -logx / (x^(9/10)*x^(1/5)*c) $, dunque...?
quella c ingloba il seno. per me quindi converge perchè la c è limitata. però non ne sono certissimo
Ok perfetto,grazie mille per l'aiuto!:)
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