Termodinamica e formalismi matematici

[Lb121]

Buongiorno a tutti. sono uno studente al secondo anno di ingegneria, e ho non poche perplessità sul formalismo matematico usato nel corso di fisica tecnica, principalmente sui differenziali.
nonostante abbia fatto analisi 1 e 2, nessuno in realtà ci ha mai spiegato come usare i differenziali, ma i concetti sono sempre stati un po' lasciati intendere facendo altri argomenti. ho già trovato materiale sul forum, ma nonostante tutto non riesco a colmare pienamente i miei dubbi. inoltre, essendo sotto esame, non ho troppo tempo per approfondire questi argomenti.
fondamentalmente, come già detto in altre discussioni, i differenziali ad ingegneria vengono utilizzati come se fossero dei numeri, moltiplicando, dividendo e facendo uscire derivate quando serve. questa cosa non riesce però a convincermi. vengo subito ad un esempio:

in una dimostrazione (non sto a spiegare tutto perchè verrebbe troppo lungo) si prende ad un certo punto la forma differenziale dell'entropia in funzione di pressione e volume (il pedice dopo la parentesi indica che, rispettivamente, volume e pressione vengono mantenuti costanti)

$ ds(P,v) = ((dels)/(delP))_v dP +((dels)/(delv))_P dv $

il passaggio subito dopo è (cito testualmente il libro):

"dividiamo membro a membro la $ ds(P,v) $ per $ dP $ mantenendo T costante e poniamo:

$ ((dels)/(delP))_T = ((dels)/(delP))_v ((delP)/(delP))_T + ((dels)/(delv))_P ((delv)/(delP))_T $

e poi procede normalmente con lo sviluppo dei differenziali.
i miei dubbi sono i seguenti:
è lecito dividere tutto per "dP a T costante" e poi procedere come se fossero derivate?
se divido per "dP a T costante" perchè il $dP$ diventa poi un $ delP $? prima era un differenziale, e poi diventa una derivata parziale?

ringrazio tutti in anticipo. avrei anche altre perplessità ma preferisco andare un passo per volta.

[dissonance]

È notoriamente un fatto problematico in termodinamica. Non credo esista una formalizzazione precisa, che non sia molto complicata. Ricordo addirittura di avere letto che formalizzare la termodinamica è un problema aperto (ma qui non credo ci si riferisca a queste manipolazioni).

Secondo me devi rinunciare all'idea di dare veste formale a questi calcoli e devi invece cercare di capirne lo spirito fisico/ingegneristico. Come dice Folland, devi fare un esercizio di "suspension of disbelief".