Teoria rigorosa Delta di Dirac
In tutti i corsi di ingegneria ho sempre utilizzato la Delta di Dirac ‘alla buona’, pensandola come una funzione quando in realtà sappiamo benissimo che non può esserlo già dalla sua definizione.
Quanto prerequisito richiederebbe uno studio rigoroso della teoria che c’è dietro? Personalmente mi piacerebbe tanto capirci qualcosa in più.
Se avete dei documenti che diano una base seria sull’argomento li leggerei tutti molto volentieri.
Ringrazio in anticipo per qualunque intervento.
Quanto prerequisito richiederebbe uno studio rigoroso della teoria che c’è dietro? Personalmente mi piacerebbe tanto capirci qualcosa in più.
Se avete dei documenti che diano una base seria sull’argomento li leggerei tutti molto volentieri.
Ringrazio in anticipo per qualunque intervento.
Risposte
Qualcosa sulle distribuzioni. Perchè in effetti la delta di Dirac è una distribuzione.
Breve introduzione: per introdurre le distribuzioni è bene cominciare cambiando prospettiva sulle funzioni, se fino ad ora hai pensato alle funzioni come a qualcosa che a un $x\in RR$ associano $f(x)$, ora pensale come qualcosa che associa a una $\phi\in C_c^\infty(RR)$ (funzioni $C^\infty$ a supporto compatto su $RR$), il valore $\int_RR f(x)\phi(x)dx$ (si chiama funzionale associato alla funzione). C'è un teorema che ti garantisce che funzioni diverse generano funzionali diversi.
Ora, questi sono funzionali lineari (e continui) da $C_c^\infty(RR)$ a $RR$, con la nozione di limite definita in $C_c^\infty(RR)$ ponendo $\phi_n->\phi$ se $EE K\subseteq RR$ compatto tale che i supporti di ogni $\phi$ (cioè sia il limite che quelle della successione) sia contenuto in $K$ e $\phi^((k))->\phi^((k))AAk$.
Semplicemente le distribuzioni sono tutti i funzionali lineari e continui in questo senso e la delta di Dirac ($\delta(x)$) è una distribuzione che manda $\phi$ in $\phi(0)$, o più in generale $\delta(x-x_0)$ manda $\phi$ in $\phi(x_0)$.
Questo discorso poi si può generalizzare anche ad $RR^N$ al posto di $RR$ (dovrai usare i multiindici per le derivate) ma addirittura a $\Omega\subseteqRR^N$.
Con questa breve infarinatura sei pronto a leggerti quello che ti pare sulle distribuzioni, tenendo presente che c'è molto di più da dire sullle distribuzioni di quanto abbia detto io ora. Nello specifico non so cosa consigliarti perchè conosco solo il Rudin "Functional Analisys", ma è un po' tosto, magari qualcuno può darti qualcosa di più facile (intanto puoi provare a dare un'occhiata alla pagina Wikipedia).
Breve introduzione: per introdurre le distribuzioni è bene cominciare cambiando prospettiva sulle funzioni, se fino ad ora hai pensato alle funzioni come a qualcosa che a un $x\in RR$ associano $f(x)$, ora pensale come qualcosa che associa a una $\phi\in C_c^\infty(RR)$ (funzioni $C^\infty$ a supporto compatto su $RR$), il valore $\int_RR f(x)\phi(x)dx$ (si chiama funzionale associato alla funzione). C'è un teorema che ti garantisce che funzioni diverse generano funzionali diversi.
Ora, questi sono funzionali lineari (e continui) da $C_c^\infty(RR)$ a $RR$, con la nozione di limite definita in $C_c^\infty(RR)$ ponendo $\phi_n->\phi$ se $EE K\subseteq RR$ compatto tale che i supporti di ogni $\phi$ (cioè sia il limite che quelle della successione) sia contenuto in $K$ e $\phi^((k))->\phi^((k))AAk$.
Semplicemente le distribuzioni sono tutti i funzionali lineari e continui in questo senso e la delta di Dirac ($\delta(x)$) è una distribuzione che manda $\phi$ in $\phi(0)$, o più in generale $\delta(x-x_0)$ manda $\phi$ in $\phi(x_0)$.
Questo discorso poi si può generalizzare anche ad $RR^N$ al posto di $RR$ (dovrai usare i multiindici per le derivate) ma addirittura a $\Omega\subseteqRR^N$.
Con questa breve infarinatura sei pronto a leggerti quello che ti pare sulle distribuzioni, tenendo presente che c'è molto di più da dire sullle distribuzioni di quanto abbia detto io ora. Nello specifico non so cosa consigliarti perchè conosco solo il Rudin "Functional Analisys", ma è un po' tosto, magari qualcuno può darti qualcosa di più facile (intanto puoi provare a dare un'occhiata alla pagina Wikipedia).
Ciao Silent,
La delta di Dirac, anche detta impulso di Dirac, distribuzione di Dirac o "funzione" $\delta $, è una distribuzione la cui introduzione formale ha spianato la strada per lo studio della teoria delle distribuzioni, potresti dare un'occhiata ad esempio qui o meglio ancora alla versione inglese qui.
Nello specifico per la delta di Dirac darei un'occhiata ad esempio qui o meglio ancora alla versione inglese qui, dove al punto 50. delle Notes c'è anche il commento di qualcuno qui sul forum...
La delta di Dirac, anche detta impulso di Dirac, distribuzione di Dirac o "funzione" $\delta $, è una distribuzione la cui introduzione formale ha spianato la strada per lo studio della teoria delle distribuzioni, potresti dare un'occhiata ad esempio qui o meglio ancora alla versione inglese qui.
Nello specifico per la delta di Dirac darei un'occhiata ad esempio qui o meglio ancora alla versione inglese qui, dove al punto 50. delle Notes c'è anche il commento di qualcuno qui sul forum...
"pilloeffe":
dove al punto 50. delle Notes c'è anche il commento di qualcuno qui sul forum...
Ah! Figo
"otta96":
[quote="pilloeffe"]dove al punto 50. delle Notes c'è anche il commento di qualcuno qui sul forum...
Ah! Figo
[/quote]Sono addirittura finito nelle note di WIKIpedia...
Grazie delle vostre spiegazioni ragazzi.
Mi pare di capire (chiedo conferma) che tutto ciò che serve sia in un testo di analisi funzionale. Se è così, che ne pensate di questi appunti? Anche se non vedo nominare la delta di dirac nell'indice, non saprei.
In ogni caso, mi piacerebbe capire in particolare la sua applicazione (matematicamente rigorosa) alla teoria dei segnali. Esempio: nello studio di un filtro lineare viene fuori (poco rigorosamente) che l'uscita è data dalla convoluzione tra ingresso e risposta impulsiva del filtro. Quindi come funziona quando l'ingresso è una delta? Sono definite le convoluzioni di distribuzioni? Vorrei studiare la teoria pensando a questo tipo di applicazione.
Mi pare di capire (chiedo conferma) che tutto ciò che serve sia in un testo di analisi funzionale. Se è così, che ne pensate di questi appunti? Anche se non vedo nominare la delta di dirac nell'indice, non saprei.
In ogni caso, mi piacerebbe capire in particolare la sua applicazione (matematicamente rigorosa) alla teoria dei segnali. Esempio: nello studio di un filtro lineare viene fuori (poco rigorosamente) che l'uscita è data dalla convoluzione tra ingresso e risposta impulsiva del filtro. Quindi come funziona quando l'ingresso è una delta? Sono definite le convoluzioni di distribuzioni? Vorrei studiare la teoria pensando a questo tipo di applicazione.
No, il link che hai messo non c'entra nulla, non vengono nemmeno citate le distribuzioni. In effetti sembra in argomento di analisi funzionale e tecnicamente lo è ma di solito si fa in altri esami.
Comunque si, si può definire la convoluzione tra una funzione e una distribuzione e in casi particolari tra 2 distribuzioni.
Comunque si, si può definire la convoluzione tra una funzione e una distribuzione e in casi particolari tra 2 distribuzioni.
"Silent":
In ogni caso, mi piacerebbe capire in particolare la sua applicazione (matematicamente rigorosa) alla teoria dei segnali. Esempio: nello studio di un filtro lineare viene fuori (poco rigorosamente) che l'uscita è data dalla convoluzione tra ingresso e risposta impulsiva del filtro. Quindi come funziona quando l'ingresso è una delta? Sono definite le convoluzioni di distribuzioni? Vorrei studiare la teoria pensando a questo tipo di applicazione.
Il libro di Gianni Gilardi di Analisi 3 tratta tutta questa roba qui. Secondo l'autore è orientato alle facoltà di ingegneria, ma ha il rigore di un libro di matematica. Ho visto che lo hanno ristampato di recente.
Quello è un gran libro, ho imparato un sacco là sopra.
https://www.ibs.it/analisi-3-libro-gian ... 8838674266
"Silent":
[...] ciò che serve sia in un testo di analisi funzionale.
Ti serve un testo di teoria delle distribuzioni; per esempio il Grubb - Distributions and Operators o il Duistermaat-Kolk - Distributions.
"dissonance":
[quote="Silent"]
In ogni caso, mi piacerebbe capire in particolare la sua applicazione (matematicamente rigorosa) alla teoria dei segnali. Esempio: nello studio di un filtro lineare viene fuori (poco rigorosamente) che l'uscita è data dalla convoluzione tra ingresso e risposta impulsiva del filtro. Quindi come funziona quando l'ingresso è una delta? Sono definite le convoluzioni di distribuzioni? Vorrei studiare la teoria pensando a questo tipo di applicazione.
Il libro di Gianni Gilardi di Analisi 3 tratta tutta questa roba qui. Secondo l'autore è orientato alle facoltà di ingegneria, ma ha il rigore di un libro di matematica. Ho visto che lo hanno ristampato di recente.
Quello è un gran libro, ho imparato un sacco là sopra.
https://www.ibs.it/analisi-3-libro-gian ... 8838674266[/quote]
Mi associo... Ma ha un'impaginazione inguardabile.
Comprato 
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