Teoria limite notevole

[SaraCapobianco]

Cari ragazzi,
mi sto avviando alla risoluzione degli esercizi con i limiti notevoli. Vorrei sapere se c'è un metodo rigoroso per la risoluzione di limiti formati da funzioni composte. Ad esempio di fronte a tale limite: $lim(x->0) ((1+arctan(3sinx))^(1/4)-1)/(arctan(log(1+x)))$, trovo difficoltà nella risoluzione del numeratore (il denominatore è semplice) in quanto ci sono 3 limiti notevoli "impacchettati" e, per essere più rigorosa, vorrei aiutarmi introducendo incognite ausiliarie a partire dalla funzione più interna. Vorrei sapere se il ragionamento è giusto, o se bisognerebbe partire dalla funzione più esterna. Insomma, vorrei capire se c'è un procedimento rigoroso che possa aiutarmi ad avere consapevolezza di siò che faccio e se il teorema della composizione del limite potrebbe servirmi chiedo scusa per l'esagerata vaghezza ma purtroppo faccio ancora confusione

[Sk_Anonymous]

Conosci gli sviluppi in serie (troncate) di Taylor?

[SaraCapobianco]

sì, però l'esercizio mi chiede di risolverlo esclusivamente con i limiti notevoli (neanche con de l'hòpital) . C'è un modo rigoroso per la risoluzione dei limiti notevoli nelle funzioni composte?

[SaraCapobianco]

ok, grazie. Quindi bisogna partire dalle funzioni più interne e mano a mano risalire alle più esterne? Potresti spiegarmi praticamente che cosa dice il teorema della composizione del limite? :S

[Sk_Anonymous]

"SaraCapobianco":sì, però l'esercizio mi chiede di risolverlo esclusivamente con i limiti notevoli (neanche con de l'hòpital) . C'è un modo rigoroso per la risoluzione dei limiti notevoli nelle funzioni composte?

Ok pardon, non avevo letto il titolo. Ad ogni modo ti dico solo a titolo informativo che i limiti notevoli, se non ricavati mediante considerazioni geometriche (cfr. \(\lim_{x \to 0} \sin (x) /x=1\)), sono ottenuti attraverso l'opportuna manipolazione di troncamenti di serie di Taylor/MacLaurin (operazione "mascherata" che ha fatto anche TeM).

[SaraCapobianco]

Per quanto abbia capito, questo teorema afferma in soldoni che se $lim(x->xo)(f(g(x))=l$, $g(x)$ può tendere a che cavolo vuole, purchè essa non tenda ad l e purchè $x$ tenda sempre ad $xo$. ditemi se ho sbagliato ad interpretare (sicuramente ho sbagliato )

[SaraCapobianco]

quindi il limite della funzione composta è uguale al limite della funzione più esterna, a patto che la funzione più interna non sia uguale al limite della funzione interna? questo teorema mi aiuterebbe a formalizzare la risoluzione degli esercizi con i limiti notevoli, ad [size=150]impostare una risoluzione più rigorosa[/size]? Ho bisogno di sicurezze, non riesco a sopportare il fatto di dover risolvere questi esercizi utilizzando il semplice "fiuto" matematico, non sono un cane! forse non sono ancora entrata nella mentalità, o forse non ho acquisito esperienza :S

[SaraCapobianco]

Ok, grazie per il consiglio