[TEORIA] ipotesi del teorema di fermat

[lukixx]

salve ragazzi tra le ipotesi del teorema di fermat (derivata in un punto di massimo o minimo è nulla) vi è che la funzione in questione deve essere derivabile in x° e che x°appartiene a (a,b): mi chiedevo 1) se il fatto che l'intervallo sia aperto si riferisce alla derivata agli estremi di un un intervallo chiuso;
2) una qualsiasi funzione definita in intervallo chiuso [a,b] non è derivabile nei suoi estremi perchè il limite del rapporto incrementale è possibile studiarlo solo da destra per il minimo e da sinistra per il massimo?

[eeuuggg]

Ciao lukixx, provo a rispondere alle tue due domande:
1) $ x_0in (a,b) $ (cioè $ x_0 in [a,b] $ , ma $ x_0 != a $ e $ x_0 != b $ ) perché altrimenti la tesi che la derivata di un punto estremante locale sia 0 sarebbe falsa. Prendi la funzione $ y=x $ nell'intervallo $ [0,1] $ : $ x=1 $ è punto di massimo, però la sua derivata prima non è 0. Quindi se trascuri, nelle ipotesi, il fatto che $ x_0 $ non si debba trovare agli estremi dell'intervallo il teorema risulta falso.
2) No, la derivata di una funzione definita su un intervallo $ [a,b] $ si può studiare anche agli estremi del dominio, con l'accortezza di calcolare il limite del rapporto incrementale solo per $ xrarr x_0^+ $ o per $ xrarr x_0^- $ . Ad esempio, nel caso citato prima la derivata di $ y=x $ definita nell'intervallo $ [0,1] $ è 1 anche in $ x=1 $ (dove il limite del rapporto incrementale si calcola per $ xrarr 1^- $ ) e in $ x=0 $ (dove il limite del rapporto incrementale si calcola per $ xrarr 0^+ $ ). Anzi, è proprio perché si può calcolare la derivata negli estremi che è necessario specificare che $ x_0 in (a,b) $ escludendo gli estremi dell'intervallo.
Però non sono sicurissimo di avere capito bene cosa intendessi nella tua prima domanda, spero di avere risposto a segno