Teoria integrali impropri e funzioni integrali
Buonasera, ho dei dubbi su alcune situazioni. Se ho una funzione integrale $\int_(1/2)^x1/logt$ dove g(t) è l'integranda ed il suo dominio è definito da $(0,1)uu(1+infty)$ , quando calcolo il valore del limite in 1 + e - per vedere se converge e diverge, questo converge, allora penserei che il dominio della funzione integrale sia $[0,+infty)$ invece mi dice che il dominio della funzione integrale in 1 non è definita!
Altra cosa, se ho una funzione integrale dove ho un estremo che non appartiene al dominio dell'integranda , come ad esempio $\int_0^(log2)(x^(sqrt(x))-1)/(log(2-e^x))$ , devo calcolare il limite per vedere se converge in log2^- ed i 0, ma il libro mi dice che esiste un $x in(0,log2)$ tale che l'integrale improprio converge in $[0,x]$ quindi in $(0,log2)$. Non mi è chiaro perchè deve necessariamente inserire quella x nonstante abbia controllato che converga in entrambi gli estremi.
Forse ho dei dubbi nell'interpretare gli estremi degli integrali impropri, cosa mi sfugge?
Altra cosa, se ho una funzione integrale dove ho un estremo che non appartiene al dominio dell'integranda , come ad esempio $\int_0^(log2)(x^(sqrt(x))-1)/(log(2-e^x))$ , devo calcolare il limite per vedere se converge in log2^- ed i 0, ma il libro mi dice che esiste un $x in(0,log2)$ tale che l'integrale improprio converge in $[0,x]$ quindi in $(0,log2)$. Non mi è chiaro perchè deve necessariamente inserire quella x nonstante abbia controllato che converga in entrambi gli estremi.
Forse ho dei dubbi nell'interpretare gli estremi degli integrali impropri, cosa mi sfugge?
Risposte
Ciao vivi96,
Ma anche no... La funzione citata si chiama funzione logaritmo integrale $\text{li}(x) := \int_0^x (\text{d}t)/logt \quad \text{ per } 0 < x < 1 $ e non converge (i $\text{d}t $ non sono optional, vanno scritti...). Se ne è parlato diffusamente con Itsgre95 qui.
Forse volevi dire funzione integranda: la funzione integrale è un'altra cosa, cioè appunto è una funzione, mentre il risultato dell'integrale che hai proposto (e anche qui non hai scritto il $\text{d}x $...) è un numero:
$ \int_0^{log2} (x^(sqrt(x))-1)/(log(2-e^x)) \text{d}x = 2,80871 $
Chiaramente se fra gli estremi dell'integrale non cadono punti singolari della funzione integranda (come invece accade nell'esempio che hai precedentemente citato) allora si può tranquillamente sostenere ciò che sostiene il tuo libro ed eventualmente introdurre la funzione integrale:
$F(x) := \int_0^{x} (t^(sqrt(t))-1)/(log(2-e^t)) \text{d}t $
Naturalmente si ha $F(0) = 0 $ e $F(log2) = 2,80871 $
Spero di essermi spiegato, ma nel caso siamo qui...
"vivi96":
[...]per vedere se converge e diverge, questo converge
Ma anche no... La funzione citata si chiama funzione logaritmo integrale $\text{li}(x) := \int_0^x (\text{d}t)/logt \quad \text{ per } 0 < x < 1 $ e non converge (i $\text{d}t $ non sono optional, vanno scritti...). Se ne è parlato diffusamente con Itsgre95 qui.
"vivi96":
Altra cosa, se ho una funzione integrale [...]
Forse volevi dire funzione integranda: la funzione integrale è un'altra cosa, cioè appunto è una funzione, mentre il risultato dell'integrale che hai proposto (e anche qui non hai scritto il $\text{d}x $...) è un numero:
$ \int_0^{log2} (x^(sqrt(x))-1)/(log(2-e^x)) \text{d}x = 2,80871 $
Chiaramente se fra gli estremi dell'integrale non cadono punti singolari della funzione integranda (come invece accade nell'esempio che hai precedentemente citato) allora si può tranquillamente sostenere ciò che sostiene il tuo libro ed eventualmente introdurre la funzione integrale:
$F(x) := \int_0^{x} (t^(sqrt(t))-1)/(log(2-e^t)) \text{d}t $
Naturalmente si ha $F(0) = 0 $ e $F(log2) = 2,80871 $
Spero di essermi spiegato, ma nel caso siamo qui...
Le funzioni non elementari, come il logaritmo integrale, lasciamole usare ai software di calcolo per favore.
Non avevo idea che si chiamasse funzione logaritmo integrale.. Quindi d'ignoranza, calcolando i limiti in 1 da destra e da sinitra vedevo che andava ad infinito di ordine minore di uno e pensavo potessi affermare ciò. Grazie della precisazione.
Comunque mi sono spiegata male, la seconda cosa che ho scritto riguardava il collegamento tra funzioni integrali ed integrali impropri. Vado con calma: in quel caso ho un integrale improprio di seconda specie e dato che gli estremi non appartengono al dominio dell'integranda, la teoria mi dice che, scegliendo arbitrariamente un $c in(0,log2)$ dovrò studiare separatamente gli integrali $\int_0^cf(x)dx$ $\int_c^log2f(x)dx$ dove $f(x)$ è la funzione che ho definito sopra. Poichè entrambi convergono agli estremi, allora la somma dei due converge. Non mi è molto chiaro perchè debba scegliere quel punto che appartiene all'intervallo e non possa calcolare direttamente $\int_0^log2f(x)dx$
Comunque mi sono spiegata male, la seconda cosa che ho scritto riguardava il collegamento tra funzioni integrali ed integrali impropri. Vado con calma: in quel caso ho un integrale improprio di seconda specie e dato che gli estremi non appartengono al dominio dell'integranda, la teoria mi dice che, scegliendo arbitrariamente un $c in(0,log2)$ dovrò studiare separatamente gli integrali $\int_0^cf(x)dx$ $\int_c^log2f(x)dx$ dove $f(x)$ è la funzione che ho definito sopra. Poichè entrambi convergono agli estremi, allora la somma dei due converge. Non mi è molto chiaro perchè debba scegliere quel punto che appartiene all'intervallo e non possa calcolare direttamente $\int_0^log2f(x)dx$
"Calcolare" non è il verbo adatto al tuo caso... 
Ad ogni buon conto, l'idea del testo è quella di ricondursi alla definizione; ma questa cosa, nella velocità della pratica, viene di solito bypassata e si va direttamente allo studio delle proprietà dell'integrando nei punti "che danno fastidio" (in questo caso $0$ e $log 2$).
Per "studiare le proprietà dell'integrando" intendo stabilire se esso è limitato o infinito/infinitesimo e di che ordine, in modo da riuscire ad applicare i criteri di convergenza per gli integrali impropri.
Ad ogni buon conto, l'idea del testo è quella di ricondursi alla definizione; ma questa cosa, nella velocità della pratica, viene di solito bypassata e si va direttamente allo studio delle proprietà dell'integrando nei punti "che danno fastidio" (in questo caso $0$ e $log 2$).
Per "studiare le proprietà dell'integrando" intendo stabilire se esso è limitato o infinito/infinitesimo e di che ordine, in modo da riuscire ad applicare i criteri di convergenza per gli integrali impropri.
Quindi" controllare" (?) direttamente $\int_0^log2f(x)dx$ non è sbagliato, è solo impreciso? Scusa se premo su una cosa forse ovvia, ma nel libro di esercizi del mio prof quel " esiste x t.c l'integrale improprio converge in [0,x] QUINDI in (0,log2)$ mi turba.
"vivi96":
Quindi" controllare" (?) direttamente $\int_0^log2f(x)dx$ non è sbagliato, è solo impreciso?
Sì.
"vivi96":
Scusa se premo su una cosa forse ovvia, ma nel libro di esercizi del mio prof quel " esiste x t.c l'integrale improprio converge in $(0,x]$ QUINDI in $(0,log2)$" mi turba.
Sinceramente non capisco il punto.
Ed il "quindi" mi pare azzardato (se non viene controllato anche l'intgrale in $[x,log 2)$).
Perchè calcola il limite in log2 da destra e vede che converge per ogni $x in(0,log2)$ ed allora l'integrale $\int_0^xf(x)dx$ (Penso per il discorso che ho scritto su ) converge. Poi studia 0 da sinistra vede che converge e scrive quel quindi che ho citato!
Ah, ok... La citazione era incompleta.
Ora ha più senso.
Si sta riconducendo alla definizione, come ho già detto.
Fissato a casaccio un $c in ]0,log 2[$, il testo ti sta mostrando che gli integrali impropri $int_c^(log 2) f(x) "d"x$ e $int_0^c f(x)"d"x$ sono entrambi convergenti; e ciò per definizione significa che l'integrale improprio $int_0^(log 2) f(x)"d"x$ è convergente.
Ora ha più senso.
Si sta riconducendo alla definizione, come ho già detto.
Fissato a casaccio un $c in ]0,log 2[$, il testo ti sta mostrando che gli integrali impropri $int_c^(log 2) f(x) "d"x$ e $int_0^c f(x)"d"x$ sono entrambi convergenti; e ciò per definizione significa che l'integrale improprio $int_0^(log 2) f(x)"d"x$ è convergente.
okok perfetto grazie! Se posso vorrei chiederti un'altra cosa sulla teoria delle funzioni integrali, di cui ho veramente dificoltà a studiare la teoria perchè non la trovo da nessuna parte, sul mio libro manca totalmente.
Il punto è che se io ho una funzione INTEGRANDA ($f(x)$) definita a tratti, con discontinuità a salto, ma continua e limitata nei vari intervalli, questa è integrabile. Ma non dovrebbe ammettere primitiva. Però la funzione integrale annessa ($F(x)$), per il teorema fondamentale del calcolo integrale, esiste se $f(x)$ è integrabile su ogni intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ contenuto in $I$, con $I$ insieme di definizione.
Quindi tralascia il fatto che possa essere discontinua a salto. Allora io mi chiedo in quei casi cosa comporta.
Faccio un esempio
Se avessi $\{(x/(x^2-4)),(2):}$ la prima definita per $x<-3$ e la seconda per $x>=-3$
e volessi calcolare $F(x)=$ $\int_-1^xf(x)dx$ . Per prima cosa mi accorgo che -1 appartiene all'intervallo $x>=-3$ e riscriverei l'integrale $-\int_-3^-1f(x)dx$ $+$ $\int_-1^(+infty)f(x)dx$ In -1 non ho problemi perchè è continua quindi sono tranquilla, in -3 so che vale $-3/5$ quindi è limitata e di nuovo non ho problemi
Ma adesso ho un salto, quindi come lego il fatto che la primitiva non debba avere questo tipo di discontinutà con il fatto che invece esiste la funzione integrale?
( in realtà il libro mi scrive che per $x<-3$ vale questa somma $\int_-1^-3f(x)dx$ $+$ $\int_-3^xf(x)dx$ , cosa che non capisco perchè -1 sta nell'altro intervallo )
Non so se mi sono spiegata, mi spiace creare confusione, se serve apro un altro topic
Il punto è che se io ho una funzione INTEGRANDA ($f(x)$) definita a tratti, con discontinuità a salto, ma continua e limitata nei vari intervalli, questa è integrabile. Ma non dovrebbe ammettere primitiva. Però la funzione integrale annessa ($F(x)$), per il teorema fondamentale del calcolo integrale, esiste se $f(x)$ è integrabile su ogni intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ contenuto in $I$, con $I$ insieme di definizione.
Quindi tralascia il fatto che possa essere discontinua a salto. Allora io mi chiedo in quei casi cosa comporta.
Faccio un esempio
Se avessi $\{(x/(x^2-4)),(2):}$ la prima definita per $x<-3$ e la seconda per $x>=-3$
e volessi calcolare $F(x)=$ $\int_-1^xf(x)dx$ . Per prima cosa mi accorgo che -1 appartiene all'intervallo $x>=-3$ e riscriverei l'integrale $-\int_-3^-1f(x)dx$ $+$ $\int_-1^(+infty)f(x)dx$ In -1 non ho problemi perchè è continua quindi sono tranquilla, in -3 so che vale $-3/5$ quindi è limitata e di nuovo non ho problemi
Ma adesso ho un salto, quindi come lego il fatto che la primitiva non debba avere questo tipo di discontinutà con il fatto che invece esiste la funzione integrale?
( in realtà il libro mi scrive che per $x<-3$ vale questa somma $\int_-1^-3f(x)dx$ $+$ $\int_-3^xf(x)dx$ , cosa che non capisco perchè -1 sta nell'altro intervallo )
Non so se mi sono spiegata, mi spiace creare confusione, se serve apro un altro topic
"vivi96":
Se posso vorrei chiederti un'altra cosa sulla teoria delle funzioni integrali, di cui ho veramente dificoltà a studiare la teoria perchè non la trovo da nessuna parte, sul mio libro manca totalmente.
Che libro usi?
Un po' di teoria la trovi qui.
"vivi96":
Il punto è che se io ho una funzione INTEGRANDA ($f(x)$) definita a tratti, con discontinuità a salto, ma continua e limitata nei vari intervalli, questa è integrabile. Ma non dovrebbe ammettere primitiva. Però la funzione integrale annessa ($F(x)$), per il teorema fondamentale del calcolo integrale, esiste se $f(x)$ è integrabile su ogni intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ contenuto in $I$, con $I$ insieme di definizione.
Quindi tralascia il fatto che possa essere discontinua a salto. Allora io mi chiedo in quei casi cosa comporta.
Faccio un esempio
Se avessi:
$f(x):= \{(x/(x^2-4), ", se " x < - 3),(2, ", se " x >= -3):}$
e volessi calcolare $F(x)=$ $\int_-1^xf(x)dx$ . Per prima cosa mi accorgo che -1 appartiene all'intervallo $x>=-3$ e riscriverei l'integrale $-\int_-3^-1f(x)dx$ $+$ $\int_-1^(+infty)f(x)dx$ In -1 non ho problemi perchè è continua quindi sono tranquilla, in -3 so che vale $-3/5$ quindi è limitata e di nuovo non ho problemi
Ma adesso ho un salto, quindi come lego il fatto che la primitiva non debba avere questo tipo di discontinutà con il fatto che invece esiste la funzione integrale?
( in realtà il libro mi scrive che per $x<-3$ vale questa somma $\int_-1^-3f(x)dx$ $+$ $\int_-3^xf(x)dx$ , cosa che non capisco perchè -1 sta nell'altro intervallo )
Non so se mi sono spiegata, mi spiace creare confusione, se serve apro un altro topic
Facendo un grafico:
[asvg]xmin=-7; xmax=3;
axes("","");
stroke="dodgerblue"; strokewidth=2; plot("x/(x^2 - 4)", -8,-3); line([-3,2],[4,2]); dot([-3,2]);[/asvg]
si vede che $f$ è continua in $RR\setminus \{-3\}$ e limitata ovunque in $RR$.
Per fatti di teoria richiamati nei fogli che ti ho linkato (cfr. Osservazione 14 a pag. 20), la $f$ risulta integrabile (al massimo impropriamente) in ogni compatto contenuto in $RR$. Questo rende lecita la definizione della funzione integrale $F(x;x_0):=int_(x_0)^x f(t)"d"t$ per ogni $x_0 in RR$.
La $F(*;x_0)$ non è una primitiva di $f$ in tutto $RR$, però. Infatti, come previsto dal TFCI, $F$ è derivabile in ogni punto di $RR\setminus \{-3\}$ (di continuità di $f$) ma non è derivabile in $-3$.
Nel tuo caso devi calcolare $F(x;-1):=int_(-1)^x f(t)"d"t$.
Occorre distinguere due casi (o tre, se proprio ti piace), cioè $x < -3$ oppure $x>= -3$ (e qui puoi ulteriormente distinguere se $-3 < x <= -1$ o $x > -1$).
Per $x >= -3$ hai $F(x):=int_(-1)^x f(t)"d"t = -int_x^(-1) 2"d" t$, mentre per $x < -3$ hai $F(x):=\int_(-1)^x f(t)"d"t = -int_x^(-3) t/(t^2 - 4)"d" t - int_(-3)^(-1) 2 "d" t$.
Ho letto gli appunti che mi hai mandato, ti ringrazio perchè c'è molta più roba che nel mio libro! Comunque, per capire:
La suddivisione degli intervalli per $x<-3 uu -3
No scusa, ma non riesco a vederlo
La suddivisione degli intervalli per $x<-3 uu -3
No scusa, ma non riesco a vederlo
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