Teoria: integrale generalizzato
Non trovo da nessuna parte la dimostrazione di:
$\int_{a}^{b} f(x) dx$ = $\lim_{c\toa+}\int_{c}^{b} f(x) dx$
con f continua in (a,b].
qualcuno potrebbe linkarmela o fornirmela?
Grazie.
$\int_{a}^{b} f(x) dx$ = $\lim_{c\toa+}\int_{c}^{b} f(x) dx$
con f continua in (a,b].
qualcuno potrebbe linkarmela o fornirmela?
Grazie.
Risposte
Ma è semplice! Se $f$ non è limitata quella è la definizione di integrale improprio, e non c'è da fare nulla. Altrimenti basta osservare che la funzione integrale $x\mapstoint_x^bf(x)"d"x$ è continua perché Lipschitziana. E perché è Lipschitziana? In questo caso è facilissimo: per il teorema fondamentale del calcolo integrale tu conosci la derivata della funzione integrale. E per ipotesi questa derivata è limitata. Fine.
Mhhhh...
Mi interessava in particolare il caso della funzione limitata.
Forse la pagina di wiki sulla Funzione_lipschitziana http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_lipschitziana puo' tornarmi utile:
Se io volessi dimostrare che:
sia f continua in [a,b], abbiamo:
$\int_{a}^{b} f(x) dx$ = $\lim_{c\toa+}\int_{c}^{b} f(x) dx$
e al contempo:
$\int_{a}^{b} f(x) dx$ = $\lim_{c\tob-}\int_{a}^{c} f(x) dx$
potrei dire:
-visto che f e' (uniformemente) continua su [a,b] esistera' sicuramente (secondo il teorema di Cantor) un numero positivo K tale che $K >= |f(x)|$ per ogni x nell'intervallo.
-definisco una funzione integrale F : $\int_{x}^{b} f(t) dt$, che e' continua.
-allora $|F(a) - F(c)| <= K|a-c| \leftrightarrow |\int_{a}^{b} f(x) dx - \int_{c}^{b} f(x) dx| <= K|a-c|$
-$|\int_{a}^{c} f(x) dx| <= K|a-c|$
-$\lim_{c\toa+}|\int_{a}^{c} f(x) dx| <= \lim_{c\toa+}K|a-c|$
Visto che il secondo membro tende a zero quando c tende ad a, avremo:
$\lim_{c\toa+}|\int_{a}^{c} f(x) dx| <= 0$
quindi $\lim_{c\toa+}|\int_{a}^{c} f(x) dx|$ e' uguale a 0.
Viceversa per dimostrare la seconda parte per c tendente a b-.
--- Secondo voi e' corretta/accettabile?
Mi interessava in particolare il caso della funzione limitata.
Forse la pagina di wiki sulla Funzione_lipschitziana http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_lipschitziana puo' tornarmi utile:
Se io volessi dimostrare che:
sia f continua in [a,b], abbiamo:
$\int_{a}^{b} f(x) dx$ = $\lim_{c\toa+}\int_{c}^{b} f(x) dx$
e al contempo:
$\int_{a}^{b} f(x) dx$ = $\lim_{c\tob-}\int_{a}^{c} f(x) dx$
potrei dire:
-visto che f e' (uniformemente) continua su [a,b] esistera' sicuramente (secondo il teorema di Cantor) un numero positivo K tale che $K >= |f(x)|$ per ogni x nell'intervallo.
-definisco una funzione integrale F : $\int_{x}^{b} f(t) dt$, che e' continua.
-allora $|F(a) - F(c)| <= K|a-c| \leftrightarrow |\int_{a}^{b} f(x) dx - \int_{c}^{b} f(x) dx| <= K|a-c|$
-$|\int_{a}^{c} f(x) dx| <= K|a-c|$
-$\lim_{c\toa+}|\int_{a}^{c} f(x) dx| <= \lim_{c\toa+}K|a-c|$
Visto che il secondo membro tende a zero quando c tende ad a, avremo:
$\lim_{c\toa+}|\int_{a}^{c} f(x) dx| <= 0$
quindi $\lim_{c\toa+}|\int_{a}^{c} f(x) dx|$ e' uguale a 0.
Viceversa per dimostrare la seconda parte per c tendente a b-.
--- Secondo voi e' corretta/accettabile?
E' una dimostrazione orchestrata male, anche se l'idea è giusta. Prima cosa:
veramente il teorema che ti serve è quello di Weierstrass.
Seconda cosa:
A questo punto lo devi dimostrare che $F$ è continua. Fatto questo la dimostrazione è terminata. Non capisco perché ti ostini a non voler usare il teorema fondamentale del calcolo integrale che ti farebbe concludere immediatamente. Volendo potresti anche farne a meno, ma perché?
-visto che f e' (uniformemente) continua su [a,b] esistera' sicuramente (secondo il teorema di Cantor) un numero positivo K tale che K≥|f(x)| per ogni x nell'intervallo.
veramente il teorema che ti serve è quello di Weierstrass.
Seconda cosa:
-definisco una funzione integrale $F (x)= int_x^bf(t)dt$, che e' continua.
A questo punto lo devi dimostrare che $F$ è continua. Fatto questo la dimostrazione è terminata. Non capisco perché ti ostini a non voler usare il teorema fondamentale del calcolo integrale che ti farebbe concludere immediatamente. Volendo potresti anche farne a meno, ma perché?
Faccio notare che il teorema chiede di provare che $\int_x^bf(t)" d"t$ è continua in $a$ anche se $f$ non lo è.
Pertanto non puoi affatto partire da:
a meno che tu non intenda la continuità in $]a,b]$.
Pertanto non puoi affatto partire da:
-definisco una funzione integrale $F(x)=\int_x^bf(t)" d"t$, che e' continua.
a meno che tu non intenda la continuità in $]a,b]$.
Avete ragione, vi faccio sapere a breve come risolvo il problema
"Gugo82":
Faccio notare che il teorema chiede di provare che $\int_x^bf(t)" d"t$ è continua in $a$ anche se $f$ non lo è.
Aspetta Gugo, non credo sia così. Chiariamoci:
Nelle ipotesi vox ha scritto "sia $f$ continua in $[a,b]$". Io ho inteso che vox stia tentando di dimostrare che l'integrale generalizzato, in questo caso, coincide con l'integrale ordinario.
Allora: vox, puoi ripetere per bene qual'è l'enunciato che tenti di dimostrare?
sia f continua in [a,b], devo dimostrare che:
$\int_{a}^{b} f(x) dx$ = $\lim_{c\toa+}\int_{c}^{b} f(x) dx$
e al contempo:
$\int_{a}^{b} f(x) dx$ = $\lim_{c\tob-}\int_{a}^{c} f(x) dx$
$\int_{a}^{b} f(x) dx$ = $\lim_{c\toa+}\int_{c}^{b} f(x) dx$
e al contempo:
$\int_{a}^{b} f(x) dx$ = $\lim_{c\tob-}\int_{a}^{c} f(x) dx$
Voglio prima dimostrare cio' senza teorema fondamentale del calcolo integrale (ci sono quasi riuscito), poi lo faro' con.
Quindi $f$ è continua in $a$. Ma in particolare $f$ è limitata in $[a, b]$.
E' quest'ultimo punto la chiave della questione, visto che non vuoi usare il teorema fondamentale del calcolo. Chiama $F$ la funzione integrale, e fornisci una stima di $F(x)-F(y)$ per ogni $x, y\in[a, b]$. Seguirà la continuità di $F$.
E' quest'ultimo punto la chiave della questione, visto che non vuoi usare il teorema fondamentale del calcolo. Chiama $F$ la funzione integrale, e fornisci una stima di $F(x)-F(y)$ per ogni $x, y\in[a, b]$. Seguirà la continuità di $F$.
@ dissonance:
Hai ragione.
Mi sono accorto solo ora che il problema è cambiato in "corso d'opera". Infatti nel primo post c'è scritto:
e la continuità in $a$ non è richiesta.
"dissonance":
Aspetta Gugo, non credo sia così. Chiariamoci:
Nelle ipotesi vox ha scritto "sia $f$ continua in $[a,b]$". Io ho inteso che vox stia tentando di dimostrare che l'integrale generalizzato, in questo caso, coincide con l'integrale ordinario.
Hai ragione.
Mi sono accorto solo ora che il problema è cambiato in "corso d'opera". Infatti nel primo post c'è scritto:
"voxzzzisf":
Non trovo da nessuna parte la dimostrazione di:
$\int_{a}^{b} f(x) dx =\lim_{c\toa+}\int_{c}^{b} f(x) dx$
con $f$ continua in $(a,b]$.
e la continuità in $a$ non è richiesta.
Sia f continua in [a,b], Ho:
$\int_{a}^{b}f(x)dx$ = $\lim_{c\to{a+}}\int_{c}^{b}(x)dx$
Quando una funzione $g$ e' continua in un intervallo chiuso e limitato, e' uniformemente continua e ha massimo e minimo (weierstrass)
quindi esiste un numero positivo $K$ tale che: $|g(x)-g(y)| \leq K(x-y)$ per ogni $x$,$y$ in $[a,b]$.
Definisco una funzione integrale $F$:$\int_{x}^{b} f(t) dt$ che e' continua (per il teorema fondamentale). Quindi:
$|F(a) - F(c)| \leq K|a-c|$
$\leftrightarrow |\int_{a}^{b} f(x)dx - \int_{c}^{b} f(x)dx| \leq K|a-c|$
$\leftrightarrow |\int_{a}^{c} f(x)dx| \leq K|a-c|$
$\leftrightarrow \lim_{c\to{a+}}|\int_{a}^{c} f(x)dx| \leq \lim_{c\to{a+}}K|a-c|$
Siccome il secondo membro tende a $0$ quando $c$ tende a $a$, ho:
$\lim_{c\to{a+}}|\int_{a}^{c} f(x)dx| \leq 0$
quindi $\lim_{c\to{a+}}|\int_{a}^{c} f(x)dx|$ = 0
----
va un po' meglio???
$\int_{a}^{b}f(x)dx$ = $\lim_{c\to{a+}}\int_{c}^{b}(x)dx$
Quando una funzione $g$ e' continua in un intervallo chiuso e limitato, e' uniformemente continua e ha massimo e minimo (weierstrass)
quindi esiste un numero positivo $K$ tale che: $|g(x)-g(y)| \leq K(x-y)$ per ogni $x$,$y$ in $[a,b]$.
Definisco una funzione integrale $F$:$\int_{x}^{b} f(t) dt$ che e' continua (per il teorema fondamentale). Quindi:
$|F(a) - F(c)| \leq K|a-c|$
$\leftrightarrow |\int_{a}^{b} f(x)dx - \int_{c}^{b} f(x)dx| \leq K|a-c|$
$\leftrightarrow |\int_{a}^{c} f(x)dx| \leq K|a-c|$
$\leftrightarrow \lim_{c\to{a+}}|\int_{a}^{c} f(x)dx| \leq \lim_{c\to{a+}}K|a-c|$
Siccome il secondo membro tende a $0$ quando $c$ tende a $a$, ho:
$\lim_{c\to{a+}}|\int_{a}^{c} f(x)dx| \leq 0$
quindi $\lim_{c\to{a+}}|\int_{a}^{c} f(x)dx|$ = 0
----
va un po' meglio???
"voxzzzisf":
Quando una funzione $g$ e' continua in un intervallo chiuso e limitato, e' uniformemente continua e ha massimo e minimo (weierstrass) quindi esiste un numero positivo $K$ tale che: $|g(x)-g(y)| \leq K(x-y)$ per ogni $x$,$y$ in $[a,b]$.
Fammi capire vox... Per te ogni funzione continua in un compatto è lipschitziana?
Te lo chiedo perchè è questo che stai affermando nel pezzo che ho citato qui sopra.
Secondo me stai mettendo insieme (malissimo) tre risultati diversi; stai un po' più attento.
No vox stai combinando sempre più casino. 
E' dall'inizio del thread che non si capisce bene nemmeno quali siano le ipotesi. Facciamo così, scrivo io le ipotesi e la tesi.
IPOTESI: Sia $f$ continua in $[a, b]$.
TESI: Detta $\forallx\in[a, b]$, $F(x)=int_x^bf(t)dt$, risulta che $lim_{x\toa}F(x)=int_a^bf(t)dt=F(a)$.
DIMOSTRAZIONE (traccia): La tesi segue a maggior ragione dalla continuità di $F$ in tutto l'intervallo $[a, b]$. Per dimostrare quest'ultima consideriamo, per ogni $x, y\in[a, b]$, il valore assoluto della differenza $|F(x)-F(y)|$, questo è uguale a ... e siccome $f$ è limitata (teorema di Weierstrass), succede che ... da cui $F$ è Lipschitziana e quindi continua. /////
Riempi gli spazi segnati con il puntino. E non ti incasinare!
P.S.:Scrivevo insieme a Gugo. E sono anche d'accordo con lui.
E' dall'inizio del thread che non si capisce bene nemmeno quali siano le ipotesi. Facciamo così, scrivo io le ipotesi e la tesi.
IPOTESI: Sia $f$ continua in $[a, b]$.
TESI: Detta $\forallx\in[a, b]$, $F(x)=int_x^bf(t)dt$, risulta che $lim_{x\toa}F(x)=int_a^bf(t)dt=F(a)$.
DIMOSTRAZIONE (traccia): La tesi segue a maggior ragione dalla continuità di $F$ in tutto l'intervallo $[a, b]$. Per dimostrare quest'ultima consideriamo, per ogni $x, y\in[a, b]$, il valore assoluto della differenza $|F(x)-F(y)|$, questo è uguale a ... e siccome $f$ è limitata (teorema di Weierstrass), succede che ... da cui $F$ è Lipschitziana e quindi continua. /////
Riempi gli spazi segnati con il puntino. E non ti incasinare!
P.S.:Scrivevo insieme a Gugo. E sono anche d'accordo con lui.
"dissonance":
P.S.:Scrivevo insieme a Gugo. E sono anche d'accordo con lui.
Una volta tanto...
Sicuramente e' meglio farla prima col teorema fondamentale del calcolo integrale.
Ci provo:
IPOTESI: Sia $f$ continua in $[a, b]$.
TESI: $\int_{a}^{b} f(x) dx$ = $\lim_{c\toa+}\int_{c}^{b} f(x) dx$ = $\lim_{c\tob-}\int_{a}^{c} f(x) dx$
Essendo $f$ continua in $[a, b]$ posso definire:
una funzione integrale $F_1(x)=int_x^bf(t)dt$, $\forallx\in[a, b]$
e una funzione integrale $F_2(x)=int_a^xf(q)dq$, $\forallx\in[a, b]$.
Per il teorema del calcolo fondamentale del calcolo integrale tali funzioni $F_1$ ed $F_2$ sono derivabili. E quindi anche continue perche' tutte le funzioni derivabili sono anche continue. (funzioni derivabili $\in$ continue).
Per definizione, se una funzione $g$ e' continua avremo:
$lim_{x\tox_0}g(x) = g(x_0)$, oppure:
$lim_{x\tox_0^{+}}g(x) = g(x_0)$, oppure:
$lim_{x\tox_0^{-}}g(x) = g(x_0)$.
Quindi nel nostro caso risulta che:
$lim_{x\toa+}F_1(x)=int_a^bf(t)dt=F_1(a)$
e $lim_{x\tob-}F_2(x)=int_a^bf(q)dq=F_2(b)$.
Ci provo:
IPOTESI: Sia $f$ continua in $[a, b]$.
TESI: $\int_{a}^{b} f(x) dx$ = $\lim_{c\toa+}\int_{c}^{b} f(x) dx$ = $\lim_{c\tob-}\int_{a}^{c} f(x) dx$
Essendo $f$ continua in $[a, b]$ posso definire:
una funzione integrale $F_1(x)=int_x^bf(t)dt$, $\forallx\in[a, b]$
e una funzione integrale $F_2(x)=int_a^xf(q)dq$, $\forallx\in[a, b]$.
Per il teorema del calcolo fondamentale del calcolo integrale tali funzioni $F_1$ ed $F_2$ sono derivabili. E quindi anche continue perche' tutte le funzioni derivabili sono anche continue. (funzioni derivabili $\in$ continue).
Per definizione, se una funzione $g$ e' continua avremo:
$lim_{x\tox_0}g(x) = g(x_0)$, oppure:
$lim_{x\tox_0^{+}}g(x) = g(x_0)$, oppure:
$lim_{x\tox_0^{-}}g(x) = g(x_0)$.
Quindi nel nostro caso risulta che:
$lim_{x\toa+}F_1(x)=int_a^bf(t)dt=F_1(a)$
e $lim_{x\tob-}F_2(x)=int_a^bf(q)dq=F_2(b)$.
@vox: Beh, vabbé. Non hai fatto come dicevo io, comunque quello che hai scritto è corretto. E' esattamente questo che cercavo di suggerirti all'inizio del topic.
@diss
Si, esatto, mi suggerivi di usare il teorema fondamentale, mentre io volevo farlo senza.
Ma mi rendo conto che significa complicarsi la vita.
Tuttavia cerchero' di risolverlo anche senza, altrimenti come supero le lacune?
Si, esatto, mi suggerivi di usare il teorema fondamentale, mentre io volevo farlo senza.
Ma mi rendo conto che significa complicarsi la vita.
Tuttavia cerchero' di risolverlo anche senza, altrimenti come supero le lacune?
Prova a seguire la traccia che ti ho scritto nel post precedente. Devi solo riempire gli spazi "...". E' facile. E osserva che questa seconda dimostrazione non richiede in realtà che $f$ sia continua (cosa invece imprescindibile se vuoi usare il teorema fondamentale del calcolo integrale), ma solo che ... ?
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