Teoria insiemi - incongruenze

[cooper1]

come da titolo non riesco a capire dove sia sbagliato il ragionamento che faccio che mi porta ad un'incongruenza.
io so le seguenti cose:
1. se un insime è stellato allora è convesso (ma non vale il viceversa, basti pensare al piano privato di un quadrante)
2. un insieme è convesso se e solo se connesso
3. un insieme è connesso se e solo se stellato.

se tutte queste tre cose fossero vere (le ho prese dagli appunti quindi potrei anche aver capito male qualcosa) riuscirei ad invertire anche la 1.
infatti se prendo un insieme convesso allora questo sarebbe connesso per la 2 e da lì attraverso la 3 potrei dire che è stellato. quindi direi che un convesso è stellato, cosa però che abbiamo dimostrato essere falsa.

dove sto sbagliando? Ho preso male qualche appunto o faccio proprio un passaggio illogico?

[Fioravante Patrone1]

1. falso
2. falso
3. falso

Ho controllato, oggi non è il 1° aprile. Quindi, dì la verità, hai bevuto un po' troppo, stasera. O qualcuno ti ha rubato la password, mannaggia?

1. il controesempio lo hai fornito tu, in parentesi
2. basta pensare a un fagiolo
3. un "viticcio" è connesso, ma non è stellato e quindi men che meno convesso

Per domani, quando la sbornia è passata, tieni presente che:

convesso => stellato (un convesso è stellato rispetto ad ogni suo punto) => connesso
e le "=>" non sono "<=>", come visto

buona notte

[cooper1]

per il punto 1 sono d'accordo, ho leggermente perso il lume della ragione.
per gli altri ho davvero scritto così negli appunti. sarà meglio eliminare le prove e correggere prima di andare a dire castronerie all'esame allora!
grazie per i chiarimenti e buonanotte!