Teoria: Derivata direzionale seconda e Taylor in 2 variabili

[Boxyes]

Allora per quanto riguarda la derivata direzionale prima non ho problemi so perchè e come si dimistra:

Mi appoggio alla funzione definita ad hoc

$\phi(t)=f(x+tv_1,y+tv_2)$

con

$||v||=1$ e chiaramente $v=(v_1,v_2)$

e dunque si vede banalmente che

$\phi'(t)=<\nablaf(x,y),v>$

ma per la derivata seconda ?

cioè se non mi sbaglio vale

$phi''(t)=$

Ma perchè?

E allo stesso modo non trovo nessuna dimostrazione per me comprensibile dello sviluppo di Taylor al secondo ordine per funzioni in 2 (bastano 2) variabili.

[Rigel1]

"Boxyes":...e dunque si vede banalmente che

$\phi'(t)=<\nablaf(x,y),v>$

Quella che hai scritto è $\phi'(0)$; infatti
\( \phi'(t) = \langle \nabla f(x+t v_1, y+t v_2), v\rangle = f_x(x+tv_1, y+tv_2) v_1 + f_y(x+tv_1, y+tv_2) v_2. \)
Adesso, per trovare $\phi''(t)$, basta che derivi l'ultima espressione rispetto a $t$.

[Boxyes]

ok molto bene, e per il polinomio di Taylor?

la conclusione la so:
lo faccio per $(\barx,\bary)$ e chiamo $v$ il vettore $(x-\barx,y-\bary)$
Tralasciamo il resto per ora!
$f(x,y)=f(\barx,\bary)+<\nablaf(\barx,\bary),v>+$

Ma come ci arrivo, passo sempre per $\phi_v(t)$? Oppure ci posso arrivare direttamente da $f(x,y)$?

Ditemi se può essere corretto ragionare così:

posso provare a fare lo sviluppo di Taylor troncato al primo membro per$\phi_v(t)$ intorno a $0$

$\phi_v(t)=\phi_v(0)+\phi'_v(0)t+1/2\phi''_v(0)t^2$

Ora però dato che ho scelto $v$ in modo opportuno segue che

$\phi_v(t)=f(tx,ty)$

e quindi se prendo $t=1$ ho finito. Poichè lo sviluppo di Taylor di $\phi_v(t)$ fatto per $0$ coincide con:

$f(\barx,\bary)+<\nablaf(\barx,\bary),v>t+t^2$

e dunque se $t=1$ mi torna la formula inziale.
Giusto?

[Rigel1]

(Manca un $1/2$ sulla parte quadratica.)
Basta che scrivi la formula di Taylor per $\phi$ nell'origine.

[Boxyes]

Grazie ho elaborato dopo che poteva funzionare e ci siamo risposti insieme!