[Teoria] Delta di Dirac, dubbio su rappresentazione e verifica relazione.
Ciao a tutti, vi scrivo per chiedervi se poteste dirmi cosa indica la scrittura $ delta_-1(t) $, ho pensato rappresentasse l'impulso di Dirac per ordinate negative, cioè un segnale del tipo $ delta(t)={ ( -infty (t=0) ),( 0(t!= 0) ):} $ ,ma non ne sono sicuro, per questo chiedo conferma o delucidazioni.
In caso affermativo vi chiedo inoltre se è vera la relazione:
$ 2sin(pit)delta_-1(-t)=2sin(pit)delta_-1(t)=2sin(0)delta_-1(t)=0 $
Ho applicato per la prima uguaglianza la proprietà di parità della distribuzione delta, per la seconda, la proprietà di campionamento, ma sono molto incerto sul risultato, e quindi sul mio ragionamento.
Grazie, saluti
Bonje
In caso affermativo vi chiedo inoltre se è vera la relazione:
$ 2sin(pit)delta_-1(-t)=2sin(pit)delta_-1(t)=2sin(0)delta_-1(t)=0 $
Ho applicato per la prima uguaglianza la proprietà di parità della distribuzione delta, per la seconda, la proprietà di campionamento, ma sono molto incerto sul risultato, e quindi sul mio ragionamento.
Grazie, saluti
Bonje
Risposte
Il simbolo \(\delta_{-1}(t)\) indica la delta di Dirac centrata in \(-1\); tale distribuzione si denota (con abuso di notazione) anche col simbolo \(\delta(t+1)\).
Per essere precisi, la distribuzione \(\delta_{-1}\) è il funzionale che ad ogni test \(\phi\) associa il numero \(\phi (-1)\), i.e.:
\[
\langle \delta_{-1} , \phi \rangle =\phi (-1)\; .
\]
Per l'altra questione, l'idea di applicare la proprietà di campionamento è giusta... Prova a farlo ora che hai capito cosa rappresenta il simbolo \(\delta_{-1}\).
Per essere precisi, la distribuzione \(\delta_{-1}\) è il funzionale che ad ogni test \(\phi\) associa il numero \(\phi (-1)\), i.e.:
\[
\langle \delta_{-1} , \phi \rangle =\phi (-1)\; .
\]
Per l'altra questione, l'idea di applicare la proprietà di campionamento è giusta... Prova a farlo ora che hai capito cosa rappresenta il simbolo \(\delta_{-1}\).
Grazie mille, sei stato utilissimo, sintetico e preciso.
E' tutto più chiaro ora.
E' tutto più chiaro ora.
Perdonami, ma ho ancora dei dubbi.
Non riesco a capire con quale ordine applicare le proprietà e la definizione di $ delta_-1(t) $, questi i miei ragionamenti:
1)
$ 2sin(pit)delta_-1(-t)=2sin(pit)delta_-1(t)=2sin(pit)delta(t+1)=2sin(-pi)delta(t+1)=-2sin(pi)delta(t+1)=0 $
applicando per le uguaglianze rispettivamente parità, definizione, campionamento.
2)
$ 2sin(pit)delta_-1(-t)=2sin(pit)delta(-t+1)=2sin(pit)delta(-(t-1))=2sin(pit)delta(t-1) $
applicando per le uguaglianze rispettivamente prima la definizione, e poi la parità.
A questo punto applicando il campionamento dovrei ottenere:
$ 2sin(pit)delta(t-1)=2sin(pi)delta(t-1)=0 $
Cioè quello che voglio dire è che a seconda dell'ordine di applicazione delle proprietà e della definizione, la delta campiona la funzione seno nel punto [1)] $ t=-1 $ , [2)] $ t=1 $, ottenendo però in ogni caso l'uguaglianza a zero, essendo
$ sin(pi)=sin(-pi)=0 $ con la dovuta periodicità.
Vorrei sapere quale dei due ragionamenti è giusto, o se sono entrambi sbagliati, e in questo caso qualche consiglio su come ragionare.
Grazie mille.
Non riesco a capire con quale ordine applicare le proprietà e la definizione di $ delta_-1(t) $, questi i miei ragionamenti:
1)
$ 2sin(pit)delta_-1(-t)=2sin(pit)delta_-1(t)=2sin(pit)delta(t+1)=2sin(-pi)delta(t+1)=-2sin(pi)delta(t+1)=0 $
applicando per le uguaglianze rispettivamente parità, definizione, campionamento.
2)
$ 2sin(pit)delta_-1(-t)=2sin(pit)delta(-t+1)=2sin(pit)delta(-(t-1))=2sin(pit)delta(t-1) $
applicando per le uguaglianze rispettivamente prima la definizione, e poi la parità.
A questo punto applicando il campionamento dovrei ottenere:
$ 2sin(pit)delta(t-1)=2sin(pi)delta(t-1)=0 $
Cioè quello che voglio dire è che a seconda dell'ordine di applicazione delle proprietà e della definizione, la delta campiona la funzione seno nel punto [1)] $ t=-1 $ , [2)] $ t=1 $, ottenendo però in ogni caso l'uguaglianza a zero, essendo
$ sin(pi)=sin(-pi)=0 $ con la dovuta periodicità.
Vorrei sapere quale dei due ragionamenti è giusto, o se sono entrambi sbagliati, e in questo caso qualche consiglio su come ragionare.
Grazie mille.
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