Teoria delle equazioni differenziali

[WalterWhite1]

salve, sto studiando la teoria delle eq. differenziali e fatico a focalizzarne bene il concetto, ho compreso che sono equazioni differenziali poiché compare la derivata(una o più di una, di qualsiasi grado) di una funzione $x(t)$, la forma 'ordinaria' è $x^n(t)=f(t,x^(n-1)(t))$ con $n$ grado di derivazione, e già arrivati a questo punto l'idea non è proprio così chiara:(nella equazione compaiono 2 variabili? la $t$ e la $x(t)$ variabile della $f$)?
-andando avanti, nel mio libro c'è scritto che la $f(t, x(t))$ individua il campo di direzioni dell'equazione(ma cosa vorrebbe dire? e soprattutto perché?)
grazie in anticipo delle risposte

[Camillo]

Tieni presente che $x(t)$ è la funzione incognita che devi trovare.
SE l'equazione differenziale è ad esempio questa :$ x''(t)+3x'(t)-4 x(t) = 3te^t $ e la riscrivo in forma normale ( a primo membro la derivata di ordine massimo della funzione incognita ) , ottengo:
$x''(t)= -3x'(t)+4x(t) +3e^t $ il secondo membro è proprio una funzione di $t,x(t),x'(t) $ che chiamo per generalità $ f(t,x(t),x'(t))$ .
Se la derivata di ordine massimo della funzione incognita è la n-esima avremo di conseguenza :
$x^(n)(t)=f(t,x(t), x'(t),x''(t),....x^(n-1)(t) )$

[WalterWhite1]

Grazie per aver risposto, ok questo é più chiaro, pero perché quella f bel tuo esempio $f(-3x'(t)-4x(t)+3et)$ indica il campo di direzione dell'equazione differenziale? E inoltre parlando di metodi risolutivi delle eq.diff primo grado risolvibili per sepazione variabili, perché le denotiamo cosi? In realtà la variabile non é una? Cioè $(t)$?

[dissonance]

I campi di direzioni sono spiegati bene qui:

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/ ... ields.aspx

Ci sono un sacco di immagini molto ben fatte.