Teoria della misura...così ovvio?

[DarkSepiroth]

Ciao a tutti..
oggi mi sono imbattuto nel seguente problema, che nel mio libro è dato come corollario. E' così ovvio? Lo chiedo a voi.
Consideriamo $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ aperto e $f \in BV(\Omega)$. Sappiamo che ogni derivata parziale $i$-esima di $f$ si rappresenta con una misura (con segno) reale $\mu_i$, quindi di fatto abbiamo un vettore di misure $(\mu_1, ..., \mu_N)$. E' così ovvio che esistano una misura di Radon positiva $\mu$ e una $\sigma$ a valori in $\mathbb{R}^N$ tali che $|\sigma(x)| = 1$ per $\mu$-quasi ogni $x$?

[Rigel1]

Immagino tu ti riferisca alla decomposizione polare di una misura. In tal caso, è una conseguenza del teorema di Radon-Nikodym.

[DarkSepiroth]

E' vero, però la cosa che non mi torna è che, selezionata una $\mu$, non è per niente automatico che le $\mu_i$ siano assolutamente continue rispetto a $\mu$. Se così fosse, allora potrei prendere il vettore delle densità e normalizzarlo.

[Rigel1]

In generale, se \(\mu\) è una misura vettoriale, hai che \(\mu\) è assolutamente continua rispetto a \(|\mu|\). La misura \(\sigma\) è esattamente la derivata di Radon-Nikodym di \(\mu\) rispetto a \(|\mu|\).

[DarkSepiroth]

Ah, non conoscevo proprio questo risultato vettoriale! sai darmi un riferimento dove trovarne una dimostrazione o quanto meno come posso trovarlo...
Ti ringrazio molto.

[Rigel1]

Dovrebbe esserci (forse non con molti dettagli) sul libro di Ambrosio-Fusco-Pallara.
Il caso delle misure complesse (ma non c'è molta differenza col caso vettoriale) lo trovi sul Rudin, Thm. 6.12.

[DarkSepiroth]

ok guarderò!grazie