Teoria della misura - "cambio di variabili"
Buon giorno, conoscete qualche testo in cui il seguente teorema venga dimostrato?
Teorema:
Sia $(Y,A,\mu)$ uno spazio di misura, $Z$ un insieme e $\pi : Y \to Z$ un'applicazione suriettiva. Posto $A' = \{ E \sub Z : \pi^{-1}(E) \in A \}$, risulta che $A'$ è una $\sigma$-algebra. L'applicazione $\mu'(E) = \mu(\pi^{-1}(E))$ definisce una misura su $(Z,A')$.
Inoltre un'applicazione $\phi$ è misurabile rispetto a $\mu'$ se e solo se $\phi \circ \pi$ è misurabile rispetto a $\mu$, e in tal caso
$\int_Z \phi d\mu' = \int_Y (\phi \circ \pi) d\mu$
Ha un nome particolare questo teorema?
Grazie
Teorema:
Sia $(Y,A,\mu)$ uno spazio di misura, $Z$ un insieme e $\pi : Y \to Z$ un'applicazione suriettiva. Posto $A' = \{ E \sub Z : \pi^{-1}(E) \in A \}$, risulta che $A'$ è una $\sigma$-algebra. L'applicazione $\mu'(E) = \mu(\pi^{-1}(E))$ definisce una misura su $(Z,A')$.
Inoltre un'applicazione $\phi$ è misurabile rispetto a $\mu'$ se e solo se $\phi \circ \pi$ è misurabile rispetto a $\mu$, e in tal caso
$\int_Z \phi d\mu' = \int_Y (\phi \circ \pi) d\mu$
Ha un nome particolare questo teorema?
Grazie
Risposte
Di libri non me ne viene in mente nessuno; ma non mi pare sia difficile dimostrare il teorema anche a mano (sembra che basti verificare le definizioni), senza riferimenti bibliografici.
Tuttavia quello enunciato mi pare uno di quei risultati astratti che poi, a guardar bene, non servono a nulla nella pratica.
Ciò che più ha attirato la mia curiosità è l'ipotesi di suriettività su [tex]$\Pi$[/tex]... Insomma in astratto l'ipotesi sembra che basti, ma in pratica con la sola suriettivià non si costruisce nulla di buono IMHO.
Prendiamo le "coordinate polari", ad esempio.
Diciamo [tex]$\Pi: \mathbb{R} \ni t \mapsto (\cos t,\sin t) \in \mathbb{S}^1 \subseteq \mathbb{R}^2$[/tex] e prendiamo un arco [tex]$\Gamma \subseteq \mathbb{S}^1$[/tex], ad esempio quello aperto d'estremi [tex]$(1,0),\ (0,1)$[/tex]. L'antiimmagine di [tex]$\Gamma$[/tex] attraverso [tex]$\Pi$[/tex] è:
[tex]$\Pi^{-1}(\Gamma)=\bigcup_{k\in \mathbb{Z}} ]2k\pi ,\frac{\pi}{2}+2k\pi [$[/tex]
ed essa non ha misura finita in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]; ne viene che [tex]$\mu^\prime (\Gamma)=+\infty$[/tex].
A ben vedere, nessun aperto di [tex]$\mathbb{S}^1$[/tex]* ha misura finita... Quindi ottieni una misura ben strana, che praticamente non serve a nulla (o quasi).
__________
* Gli aperti di [tex]$\mathbb{S}^1$[/tex] si ottengono intersecando la circonferenza con gli aperti di [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex].
Tuttavia quello enunciato mi pare uno di quei risultati astratti che poi, a guardar bene, non servono a nulla nella pratica.
Ciò che più ha attirato la mia curiosità è l'ipotesi di suriettività su [tex]$\Pi$[/tex]... Insomma in astratto l'ipotesi sembra che basti, ma in pratica con la sola suriettivià non si costruisce nulla di buono IMHO.
Prendiamo le "coordinate polari", ad esempio.
Diciamo [tex]$\Pi: \mathbb{R} \ni t \mapsto (\cos t,\sin t) \in \mathbb{S}^1 \subseteq \mathbb{R}^2$[/tex] e prendiamo un arco [tex]$\Gamma \subseteq \mathbb{S}^1$[/tex], ad esempio quello aperto d'estremi [tex]$(1,0),\ (0,1)$[/tex]. L'antiimmagine di [tex]$\Gamma$[/tex] attraverso [tex]$\Pi$[/tex] è:
[tex]$\Pi^{-1}(\Gamma)=\bigcup_{k\in \mathbb{Z}} ]2k\pi ,\frac{\pi}{2}+2k\pi [$[/tex]
ed essa non ha misura finita in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]; ne viene che [tex]$\mu^\prime (\Gamma)=+\infty$[/tex].
A ben vedere, nessun aperto di [tex]$\mathbb{S}^1$[/tex]* ha misura finita... Quindi ottieni una misura ben strana, che praticamente non serve a nulla (o quasi).
__________
* Gli aperti di [tex]$\mathbb{S}^1$[/tex] si ottengono intersecando la circonferenza con gli aperti di [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex].
Grazie per la risposta, e in particolare per l'esempio.
Penso di riuscire a dimostrare il teorema, però pensavo avesse un nome particolare
Il teoremino veniva usato per dimostrare un analogo teorema relativo alle misure a valori di proiettore.
Penso di riuscire a dimostrare il teorema, però pensavo avesse un nome particolare
Il teoremino veniva usato per dimostrare un analogo teorema relativo alle misure a valori di proiettore.
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