Teoria della misura - insieme misurabile in R
Mi scuso in anticipo per il titolo, non ne ho trovato uno piu' esplicativo 
devo risolvere questo esercizio:
"Si trovi un insieme misurabile $E sub RR$ di misura finita per cui comunque dato un intervallo $I$ si abbia $0 < m(E nn I) < m(I)$"
con $m$ misura di Lebesgue.
Non riesco a trovarlo perche' innanzitutto non riesco a trovare insiemi misurabili in $RR$ illimitati di misura finita (apparte $Q$ o un qualsiasi numerabile). Lo cerco denso (quindi illimitato), perche' se non fosse denso potrei trovare un intervallo $I$ tale che $E nn I$ e' vuoto, e dunque l'intersezione avrebbe misura nulla contro quello che volevo. Non ho proprio idee.
devo risolvere questo esercizio:
"Si trovi un insieme misurabile $E sub RR$ di misura finita per cui comunque dato un intervallo $I$ si abbia $0 < m(E nn I) < m(I)$"
con $m$ misura di Lebesgue.
Non riesco a trovarlo perche' innanzitutto non riesco a trovare insiemi misurabili in $RR$ illimitati di misura finita (apparte $Q$ o un qualsiasi numerabile). Lo cerco denso (quindi illimitato), perche' se non fosse denso potrei trovare un intervallo $I$ tale che $E nn I$ e' vuoto, e dunque l'intersezione avrebbe misura nulla contro quello che volevo. Non ho proprio idee.
Risposte
Trovare insiemi densi, illimitati e di misura finita non è difficile: ad esempio, se \((q_n)_{n\geq 1}\) è una enumerazione dei razionali, fissato \(\epsilon > 0\) ti basta considerare
\[
A := \bigcup_{n\geq 1} (q_n - \epsilon 2^{-n}, q_n + \epsilon 2^n),
\]
che ha chiaramente misura finita in quanto
\[
\mu(A) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\epsilon}{2^n} = 2\epsilon.
\]
L'esercizio richiesto è però più complicato; la costruzione non è immediata e richiede un minimo di dimestichezza con gli insiemi compatti totalmente disconnessi di misura positiva (per capirci, gli insiemi Cantoriani di misura positiva).
\[
A := \bigcup_{n\geq 1} (q_n - \epsilon 2^{-n}, q_n + \epsilon 2^n),
\]
che ha chiaramente misura finita in quanto
\[
\mu(A) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\epsilon}{2^n} = 2\epsilon.
\]
L'esercizio richiesto è però più complicato; la costruzione non è immediata e richiede un minimo di dimestichezza con gli insiemi compatti totalmente disconnessi di misura positiva (per capirci, gli insiemi Cantoriani di misura positiva).
Ok l'insieme che mi hai fornito è un ottimo esempio di quello che cercavo inizialmente (pensavo non esitesse un insieme siffatto... all'inizio pensavo fosse un ricoprimento aperto di $RR$, poi mi sono convinto che non è così, perchè questi intervalli per $n->oo$ diventano infinitesimi).
Però hai ragione, non ho ancora risolto il problema e purtroppo non ho dimestichezza con quegli insiemi. So solo cos'è l'insieme di Cantor. Quindi l'unica cosa che mi viene da pensare è ripetere il procedimento di Cantor sulla chiusura degli intervallini, ma così mi viene un unione di insiemi di misura nulla, ed è un guaio devo trovare qualcosa che abbia misura finita positiva e che sia "spezzato bene", cioè tale che "spezzi" la misura di ogni intervallo $I sub RR$
Però hai ragione, non ho ancora risolto il problema e purtroppo non ho dimestichezza con quegli insiemi. So solo cos'è l'insieme di Cantor. Quindi l'unica cosa che mi viene da pensare è ripetere il procedimento di Cantor sulla chiusura degli intervallini, ma così mi viene un unione di insiemi di misura nulla, ed è un guaio
devo trovare qualcosa che abbia misura finita positiva e che sia "spezzato bene", cioè tale che "spezzi" la misura di ogni intervallo $I sub RR$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo