Teoria della misura: esercizi non capiti (ne aggiungo altri)

[miciomatta]

Salve, sono una studentessa (maledetto il giorno in cui l'ho deciso ) della facoltà di matematica a Trieste. Purtroppo non sono così brava e sto avendo qualche problemino soprattutto con gli esercizi teorici riguardanti la teoria della misura.
Propongo qui di seguito alcuni esercizi e, se è possibile, posterò anche altri esercizi ( ho RIPORTATO GLI ESERCIZI postati dopo NEL PRIMO POST) che non mi vengono man mano che li incontro. (mi scuso per la mia incompetenza nella scrittura con tex)

ESERCIZIO1

sia \( C=\{(a,b]| a,b \in [-\infty,+\infty], a \le b \} \)sia
\( F: R \to R\) (R= reali)
crescente e continua da destra in ogni punto e poniamo
\( F(+\infty)=lim(y\rightarrow +\infty) y \) e analogo per -\infty

verificare che
1. C è una semialgebra su \( (-\infty,+\infty ] \)
problema legato al punto 1: ho verificato che C è chiuso rispetto l'intersezione e che ilcomplementare è unione disgiunta di elementi di C, l'unica cosa che non mi è chiara è se (a,a] lo posso considerare come l'insieme vuoto in C? risolto---> sì

2. \(\mu ((a,b])= F(b)-F(a) \) è una misura su C?
problema: mi manca solo da dimostrare la subadditività numerabile..

3.dimostrare che tale \( \mu \) si estende ad una misura sulla sigma-algebra di Borel su R (reali)
problema: io non ho proprio capito cosa si intendere per estendere. Per questo punto proprio non so da dove cominciare...io definirei una misura sulla sigma algebra do Borel in modo tale che se questa misura la restringo a C (quello del testo) mi compare di nuovo la misura \( \mu \) ma non so come fare...

4. chiamando sempre \( \mu \) questa misura estesa e preso \( a \in R \) stabilire quanto vale \( \mu \{a\} \)
problema: mi serve il punto 3

ESERCIZIO2 (risolto da gugo82)

sia 1 provare che
1. limx→∞f∗g(x)=0 con * prodotto di convoluzione
2.stabilire se la stessa cosa vale nel caso p=1 q= ∞

traccia (che non ho capito)
1. la tesi è vera se f e g sono nulle fuori da un compatto, le funzioni C∞ a supporto compatto sono dense in Lp(Rn) e Lq(Rn),dato che 1
Io so solo cos'è il prodotto di convoluzione (la definizione) e che per uno spazio con misura la classe delle funzioni semplici nulle fuori da un insieme di misura finita è densa in Lp(Rn) eLp(Rn) è separabile...ma non mi aiuta
ESERCIZIO 3
a. stabilire se esiste ed eventualmente calcolare

\( lim_{n \to \infty} \int_{R}(1−(|x|/n))^n e^{∣x|/2} \)

(soluzione: non è calcolabile..ma non ho capito perchè... nel compito dovevamo usare uno dei tre teoremi di convergenza visti durante il corso di teoria della misura: Fatou, Beppo levi o convergenza monotona, Lebesgue o convergenza dominata ma ovviamente non valeva nessuno perchè oer sbaglio il professore l'ha scritta non integrabile..io non ci sono arrivata...)

b.Sia E ⊂Rn misurabile secondo Lebesgue. Siano A,B ⊂Rn t.che A⊂Ee B ⊂C(E) (B risiede nel complementare di E). Provare che
μ∗(A∪B)=μ∗(A)+μ∗(B) (dove μ∗ è la misura esterna)

c.Siano f, g misurabili in R^n e tali che
|f(x)|, |g(x)| ≤e−∣∣x∣∣2 per ogni x appartenente ad R^n
provare che esiste C > 0 tale che
|f∗g(x)|≤Ce−∣∣x∣∣2 per ogni x appartenente ad R^n

ESERCIZIO 4

sia \( \varphi \in L^1 (R^n) \) t.che \( \varphi (x) = 0 \) per ogni x, |x|>1 e \( \int_{R^n} \varphi = 0 \)
per ogni \( \epsilon \)>0 si ponga \( \varphi_\epsilon (x) = \epsilon^n \varphi (x/\epsilon) \)
posto \( 1 \le p < \infty \) e presa \( f \in L^p (R^n) \) provare che \( ||{\varphi_\epsilon * f} ||_p \to 0 \)

[dissonance]

1. si;
2. [...] (non sono in grado di rispondere);
3. devi dimostrare che esiste una misura \(\tilde{\mu}\) sulla \(\sigma\)-algebra di Borel che coincide con \(\mu\) su \(C\). Probabilmente hai studiato dei teoremi di estensione nel tuo corso di studi.
4. Prova a scrivere \(\{a\}\) come intersezione decrescente di elementi di \(C\) e usa il teorema della continuità delle misure.

[miciomatta]

ti ringrazio, anche se il punto 3 è quello più ostico: la misura "mu tilde" la devo definire o la prendo generica? l'unico teorema di estensione che ho fatto è quello di Caratheodory ma non riesco ad applicarlo..

[dissonance]

La filosofia dei teoremi di estensione è la seguente: la sigma-algebra di Borel è una cosa immensa e molto difficile da gestire. In linea di principio è quindi molto difficile costruire una misura, perché bisognerebbe assegnare un valore numerico ad ogni elemento di questa colossale sigma-algebra. Tuttavia, nella sigma-algebra di Borel esistono dei sottoinsiemi molto più piccoli e gestibili, come ad esempio questa famiglia \(C\) che hai sotto mano. I teoremi di estensione ti dicono che, se riesci a definire una "pre-misura" su uno di questi sottoinsiemi, hai materiale sufficiente per avere un'unica misura sull'intera sigma-algebra di Borel. Naturalmente non conoscerai esplicitamente il valore numerico della misura di ogni singolo Boreliano, ma saprai che un tale valore esiste e, se necessario, potrai industriarti per trovarlo.

Anche la misura di Lebesgue nel piano, ovvero il concetto classico di "area", verifica questa filosofia. Archimede sapeva che il cerchio aveva un'area, ma non la conosceva esplicitamente: egli conosceva esplicitamente solo il valore numerico dell'area dei poligoni regolari. Per calcolare l'area del cerchio si è dovuto industriare con il procedimento "di esaustione" che ben sappiamo.

[miciomatta]

uao! bello spiegato così!!! grazie!!!

[gugo82]

@miciomatta: Esistono dei notissimi teoremi di prolungamento per le misure definite sulle semialgebre: ad esempio, i teoremi di Carathéodory o di Kolmogorov.
Li dovresti poter trovare sul Measure Theory di Halmos, ma credo ci siano anche sul tuo libro di testo (e saranno stati visti anche durante il tuo corso, altrimenti non avrebbe senso assegnare un esercizio del genere).

[miciomatta]

libri di testo di preciso non ne abbiamo..solo una dispensa fatta da alunni di altri anni..ho solo fatto il teorema di estensione di caratheodory ma è per algebre..in ogni caso vi ringrazio..
posterò altri esercizi questa sera con calma dopo aver provato a risolverli da sola..purtroppo non ho la stessa passione vostra e dopo un po' che penso ad un problema mi incavolo e non riesco più a fare nulla^^

[miciomatta]

ESERCIZIO2

sia 1 provare che
1. \( lim_{x \to \infty} f*g(x) = 0 \) con * prodotto di convoluzione
2.stabilire se la stessa cosa vale nel caso p=1 q= \( \infty \)

traccia (che non ho capito)
1. la tesi è vera se f e g sono nulle fuori da un compatto, le funzioni \( C^\infty \) a supporto compatto sono dense in \( L^p (R^n) \) e \( L^q (R^n) \),dato che 1
Io so solo cos'è il prodotto di convoluzione (la definizione) e che per uno spazio con misura la classe delle funzioni semplici nulle fuori da un insieme di misura finita è densa in \( L^p (R^n) \) e\( L^p (R^n) \) è separabile...ma non mi aiuta

[miciomatta]

ESERCIZIO 3
a. stabilire se esiste ed eventualmente calcolare

\( lim_{n \to \infty} \int_R (1- (|x|/n))^n e^{|x|/2} \)

(soluzione: non è calcolabile..ma non ho capito perchè... nel compito dovevamo usare uno dei tre teoremi di convergenza visti durante il corso di teoria della misura: Fatou, Beppo levi o convergenza monotona, Lebesgue o convergenza dominata ma ovviamente non valeva nessuno perchè oer sbaglio il professore l'ha scritta non integrabile..io non ci sono arrivata...)

b.Sia E \( \subset R^n \) misurabile secondo Lebesgue. Siano A,B \( \subset R^n \) t.che A\( \subset E \)e B \( \subset C(E) \) (B risiede nel complementare di E). Provare che
\( \mu^* (A \cup B) = \mu^*(A)+ \mu^*(B) \) (dove \( \mu^* \) è la misura esterna)

c.Siano f, g misurabili in R^n e tali che
|f(x)|, |g(x)| \( \le e^{-|x|^2} \) per ogni x appartenente ad R^n
provare che esiste C > 0 tale che
\( |f*g(x)| \le Ce^{-|x|^2} \) per ogni x appartenente ad R^n

[gugo82]

Per quanto riguarda la classe \(C_c(X)\) puoi vedere Rudin, Real and Complex Analysis - third edition, cap.3, pag. 69.
Per la densità di \(C_c^\infty (\mathbb{R}^n)\) in \(L^p(\mathbb{R}^n)\) puoi vedere Evans, Partial Differential Equations - second edition, appendice C, pag. 713.


P.S.: Fossi in te, andrei dal professore a chiedere un consiglio per un libro da cui studiare.

[miciomatta]

purtroppo il professore è quasi sempre assente... e io ci capisco poco nulla di quest'oscura materia.. in ogni caso grazie a tutti per le risposte!

[j18eos]

Se ti possono essere utili, ti segnalo queste note con relativa bibliografia!

[miciomatta]

Grazie!

[miciomatta]

L'esercizio 3 b si può risolverlo in questo modo?

verifico innanzitutto che \( (A \cup B) \) è misurabile:

scrivo \( \mu^* (E) = \mu^* (A) + \mu^* (compl(A) \cap E) = \mu^* (E \cap (A \cup B)) + \mu^* (E\(A \cup B)) \)
e quindi verifica Caratheodory..ma secondo me qui sbaglio perchè lo dovrei verificare per un qualunque insieme..

so poi che E è misurabile e quindi verifica la condizione di Caratheodory on particolare la verifica per A \( \cup \) B
\( \mu^* (A \cup B) = \mu^* ((A \cup B) \ E ) + \mu^* ((A \cup B) \cap E) \)

[gugo82]

"miciomatta":ESERCIZIO2

sia 1 provare che
1. \( lim_{x \to \infty} f*g(x) = 0 \) con * prodotto di convoluzione
2.stabilire se la stessa cosa vale nel caso p=1 q= \( \infty \)

traccia (che non ho capito)
1. la tesi è vera se f e g sono nulle fuori da un compatto, le funzioni \( C^\infty \) a supporto compatto sono dense in \( L^p (R^n) \) e \( L^q (R^n) \),dato che 1
Io so solo cos'è il prodotto di convoluzione (la definizione) e che per uno spazio con misura la classe delle funzioni semplici nulle fuori da un insieme di misura finita è densa in \( L^p (R^n) \) e\( L^p (R^n) \) è separabile...ma non mi aiuta

Se \(f:\mathbb{R}^N\to \mathbb{R}\), l'insieme:
\[
\operatorname{supp} f:= \overline{\{x\in \mathbb{R}^N:\ f(x)\neq 0\}}
\]
(la chiusura \(\overline{\cdot}\) è intesa rispetto alla topologia naturale di \(\mathbb{R}^N\)) si chiama supporto di $f$.
Pertanto dire che $f$ è a supporto compatto significa dire che \(\operatorname{supp} f\) è chiuso e limitato in \(\mathbb{R}^N\), ovverosia che $f$ è diversa da zero solo su un insieme "piccolo" (cioè il proprio supporto).

La classe delle funzioni regolari a supporto compatto si indica con \(C_c^\infty (\mathbb{R}^N)\): si può vedere che essa non è vuota, dato che contiene il cosiddetto mollificatore standard:
\[
\rho (x) := \begin{cases} \exp \left( \frac{1}{|x|^2-1}\right) &\text{, se } |x|<1 \\ 0 &\text{, se } |x|\geq 1.\end{cases}
\]
D'altra parte, la classe delle funzioni continue a supporto compatto si denota col simbolo \(C_c(\mathbb{R}^N)\): dato che \(C_c^\infty (\mathbb{R}^N) \subset C_c(\mathbb{R}^N)\), tale classe non è vuota.
Un teorema generale di Teoria della Misura implica che:

\(C_c(\mathbb{R}^N)\) è denso in \(L^p(\mathbb{R}^N)\) rispetto alla norma per \(p\in [1,\infty[\), nel senso che:
\[
\forall f \in L^p(\mathbb{R}^N),\ \exists (f_n)\subseteq C_c (\mathbb{R}^N):\ \lim_n \| f_n-f\|_p = 0\; .
\]

(un risultato del genere, infatti, vale per ogni spazio di misura \(\sigma\)-finito dotato di una misura di Borel).
N.B.: ciò è falso per $p=\infty$!
Infatti, si dimostra che \(L^\infty (\mathbb{R}^N)\) è più grande della chiusura di \(C_c (\mathbb{R}^N)\) rispetto a \(\|\cdot \|_\infty\), giacché si dimostra facilmente che se \((f_n)\subset C_c(\mathbb{R}^N)\) converge in norma \(L^\infty\) (il che equivale alla convergenza uniforme), allora la funzione limite è continua; d'altra parte, la tipica funzione di \(L^\infty (\mathbb{R}^N)\) è discontinua (pensa alle funzioni a scalino), quindi \(L^\infty (\mathbb{R}^N)\) è certamente più vasto dello spazio ottenuto chiudendo \(C_c(\mathbb{R}^N)\) rispetto alla norma.
Per la precisione, si può far vedere facilmente che il limite \(f\) di una successione \((f_n)\subset C_c(\mathbb{R}^N)\) convergente in norma \(\infty\) soddisfa anche la condizione \(\lim_{|x|\to \infty} f(x)=0\); pertanto la chiusura di \(C_c(\mathbb{R}^N)\) in \(L^\infty(\mathbb{R}^N)\) coincide con la classe:
\[
C_0(\mathbb{R}^N) := \Big\{ f\in L^\infty (\mathbb{R}^N):\ f \text{ è continua ed infinitesima all'infinito}\Big\}\; .
\]

Lievemente più tecnico (la dimostrazione si può trovare in Evans, PDEs, in appendice C) è mostrare che addirittura:

\(C_c^\infty (\mathbb{R}^N)\) è denso in \(L^p(\mathbb{R}^N)\) per \(p\in [1,\infty[\), nel senso che:
\[
\forall f \in L^p(\mathbb{R}^N),\ \exists (f_n)\subseteq C_c^\infty (\mathbb{R}^N):\ \lim_n \| f_n-f\|_p = 0\; .
\]

ed, ovviamente, ciò è di nuovo falso per $p=\infty$!

Nota, inoltre, che ogni funzione di \(C_c(\mathbb{R}^N)\) è di fatto uniformemente continua in tutto \(\mathbb{R}^N\) (fondamentalmente poiché essa è costante fuori dal suo supporto, ed uniformemente continua dentro il suo supporto -per il teorema di Cantor-).

***

Per quanto riguarda la convoluzione, ricorda che vale il seguente teorema:

Siano \(p,q,r \in [1,\infty ]\) tali che:
\[
\frac{1}{p} +\frac{1}{q}=1+\frac{1}{r}
\]
(N.B.: qui $q$ non è necessariamente l'esponente coniugato di $p$!).
Per ogni \(f\in L^p (\mathbb{R}^N)\) e \(g\in L^q (\mathbb{R}^N)\) si ha:
\[
\tag{Yg} \| f*g\|_r \leq C\ \| f\|_p\ \| g\|_q
\]
ove \(C=C(N,p,q,r) \geq 0\) è un'opportuna costante; pertanto:
\[
f\in L^p (\mathbb{R}^N),\ g\in L^q (\mathbb{R}^N)\quad \Rightarrow \quad f*g\in L^r (\mathbb{R}^N)\; .
\]
In particolare, se \(q=p^\prime\) è l'esponente coniugato di $p$ e conseguentemente \(r=\infty\), allora:
\[
\tag{Yc} \| f*g\|_\infty \leq C\ \| f\|_p\ \| g\|_{p^\prime}
\]
e quindi:
\[
f\in L^p (\mathbb{R}^N),\ g\in L^{p^\prime} (\mathbb{R}^N)\quad \Rightarrow \quad f*g\in L^\infty (\mathbb{R}^N)\; ;
\]
mentre, se \(q=1\) e conseguentemente \(r=p\), allora:
\[
\tag{Y} \| f*g\|_p\leq C\ \| f\|_p\ \| g\|_1
\]
e perciò:
\[
f\in L^p (\mathbb{R}^N),\ g\in L^1 (\mathbb{R}^N)\quad \Rightarrow\quad f*g\in L^p(\mathbb{R}^N)\; .
\]

La (Y) è la classica disuguaglianza di Young; la (Yg) è la disuguaglianza di Young generalizzata; la (Yc) è la disuguaglianza di Young per gli esponenti coniugati.

Non so se questa disuguaglianza l'abbiate dimostrata durante il corso; però userò (Yc) ugualmente nella risoluzione dell'esercizio...
Se non l'avete dimostrata bisognerà aggirare l'ostacolo in qualche modo.

***

Fatte le dovute premesse, il suggerimento che ti viene dato mi pare avere bun senso.

Cominciamo ad analizzare il caso \(f,g\in C_c^\infty (\mathbb{R}^N)\).
In tal caso la convoluzione \(f*g\) è anch'essa una funzione \(C_c^\infty (\mathbb{R}^N)\): invero, dato che \(f(y)=0\) per \(y\notin \operatorname{supp} f\) e \(g(x-y) =0\) per \(y\notin x-\operatorname{supp} g\)*, si ha:
\[
\int_{\mathbb{R}^N} f(y)g(x-y)\ \text{d} y = \int_{\operatorname{supp} f \cap (x-\operatorname{supp} g)} f(y)\ g(x-y)\ \text{d} y\; ;
\]
dato che \(\operatorname{supp} f\) e \(\operatorname{supp} g\) sono compatti, l'insieme \(\operatorname{supp} f \cap (x-\operatorname{supp} g)\) è un compatto ed inoltre, se \(|x|\) è sufficientemente grande risulta addirittura \(\operatorname{supp} f \cap (x-\operatorname{supp} g) =\varnothing\); pertanto l'integrale di convoluzione esiste per ogni \(x\in \mathbb{R}^N\), di modo che \(f*g(x)\) è definita ovunque, ed addirittura si ha \(f*g(x)=0\) per \(|x|\) sufficientemente grande, cosicché \(\operatorname{supp} f*g\) è compatto (perché chiuso per definizione e limitato per quanto appena detto).
D'altra parte, \(f*g\) è continua: infatti per \(x,x_0\in \mathbb{R}^N\) si ha:
\[
\begin{split}
|f*g(x)-f*g(x_0)| &= \left| \int_{\mathbb{R}^N} f(y)\ [g(x-y)-g(x_0-y)]\ \text{d} y\right|\\
&\leq \int_{\mathbb{R}^N} |f(y)|\ |g(x-y)-g(x_0-y)|\ \text{d} y\\
&= \int_{\operatorname{supp} f} |f(y)|\ |g(x-y)-g(x_0-y)|\ \text{d} y\; ;
\end{split}
\]
fissato \(\varepsilon >0\) esiste un \(\delta >0\) tale che \(|g(t_1)-g(t_2)|<\epsilon\) per ogni \(|t_1-t_2|<\delta\) (per l'uniforme continuità); ma allora, scelto \(x\) in modo che \(|x-x_0|<\delta\), si ha \(|(x-y)-(x_0-y)|<\delta\) e della precedente segue \(|g(x-y)-g(x_0-y)|<\varepsilon\) per ogni \(y\in \operatorname{supp} f\); sostituendo quanto appena trovato nell'ultimo membro della precedente catena di disuguaglianze si ottiene:
\[
|f*g(x)-f*g(x_0)| \leq \| f\|_1\ \varepsilon
\]
per \(|x-x_0|<\delta\). Ciò mostra che \(f*g\) è continua in ogni \(x_0\in \mathbb{R}^N\), perciò \(f*g\in C_c(\mathbb{R}^N)\).
In particolare, è evidente che:
\[
\lim_{|x|\to \infty} f*g(x)=0
\]
dato che \(f*g\) è identicamente nulla fuori da un compatto.
[Inoltre, in tal caso si ha addirittura \(f*g\in C_c^\infty (\mathbb{R}^N)\), per il Teorema di Derivazione sotto il Segno d'Integrale... Ma ciò non ha grande importanza per ora.]

Ora non rimane altro da fare che usare la densità per passare dal caso \(f,g\in C_c^\infty (\mathbb{R}^N)\) al caso \(f\in L^p(\mathbb{R}^N), g\in L^{p^\prime} (\mathbb{R}^N)\).
Fissate \(f\in L^p(\mathbb{R}^N), g\in L^{p^\prime} (\mathbb{R}^N)\), scegliamo due successioni \((f_n),(g_n)\in C_c^\infty (\mathbb{R}^N)\) tali che:
\[
\lim_n \| f-f_n\|_p =0=\lim_n \| g-g_n\|_{p^\prime}\; .
\]
Si ha, per \(x \text{ q.o. in }\mathbb{R}^N\):
\[
\begin{split}
|f*g(x)-f_n*g_n(x)| &\leq |f*g (x)-f_n*g(x)|+|f_n*g(x)-f_n*g_n(x)|\\
&=|(f-f_n)*g(x)|+|f_n*(g-g_n)(x)|\\
&\leq \| (f-f_n)*g\|_\infty +\| f_n*(g-g_n)\|_\infty \\
&\stackrel{\text{Yc}}{\leq} C\ \left( \| f-f_n\|_p\ \| g\|_{p^\prime} + \| f_n\|_p\ \| g-g_n\|_{p^\prime} \right)
\end{split}
\]
e ciò implica (passando agli estremi superiori essenziali) che:
\[
\| f*g -f_n*g_n\|_\infty \leq C\ \left( \| f-f_n\|_p\ \| g\|_{p^\prime} + \| f_n\|_p\ \| g-g_n\|_{p^\prime} \right)\; .
\]
L'ultima disuguaglianza, unita al fatto che \(\lim_n \| f-f_n\|_p =0=\lim_n \| g-g_n\|_{p^\prime}\) e che \(\|f_n\|_p\leq M\) (con una costante opportuna \(M\geq 0\)... Ricorda che \((f_n)\) è una successione convergente in \(L^p\), dunque è necessariamente limitata in norma!), importa che:
\[
\lim_n \| f*g -f_n*g_n\|_\infty =0
\]
quindi \(f*g \in C_0(\mathbb{R}^N)\) e dunque:
\[
\lim_{|x|\to \infty} f*g(x)=0
\]
per com'è definito lo spazio \(C_0\).

__________
* Ricordo che, se \(x\in \mathbb{R}^N\) ed \(E\subseteq \mathbb{R}^N\) non è vuoto, si pone \(x-E :=\{ x-z,\ z\in E\}\).

[miciomatta]

Ti ringrazio!...mi mancava solo "un po' " di teoria..
nel corso abbiamo visto l'enunciato Yg (con la piccola differenza che noi non abbiamo messo la costante C..che il professore l'abbia posta uguale ad uno? non l'ha detto a lezione ) ma abbiamo dimostrato solo il caso particolare Y (sempre senza la costante C).

Uff! ti porterei con me nel taschino durante l'esame..

[miciomatta]

qualche idea sugli altri esercizi?? Grazie!

[gugo82]

"miciomatta":qualche idea sugli altri esercizi?? Grazie!

Idee tue?? Grazie!

Una settimana in più di studio dovrebbe aver portato consiglio, no?

[miciomatta]

purtroppo avevo anche un altro esame in mezzo^^ e ho scritto la mia idea su un esercizio (messaggi prima..non so come "quotarlo" in questo messaggio) ma non so se è giusta..ho meglio so che non è giusta ma non ne vengo a capo!

[dissonance]

"miciomatta":(con la piccola differenza che noi non abbiamo messo la costante C..che il professore l'abbia posta uguale ad uno? non l'ha detto a lezione )

Non è che l'ha "posta" lui. Come spiega Gugo, la disuguaglianza di Young dice che esistono delle costanti \(C\) tali che
\[
\lVert f \star g\rVert_p \le C\lVert f \rVert_{p_1}\lVert g\rVert_{p_2}.\]
Da questo enunciato non è dato sapere quali siano tali costanti: esistono, ma quali siano non lo sappiamo. Però già questa è una grossa informazione, utile per moltissime applicazioni.

Ragionando in modo più raffinato si può dimostrare che \(C=1\) è una costante valida. Il che, chiaramente, implica anche che tutte le costanti maggiori sono valide: ad esempio, la disuguaglianza è certamente vera con \(C=10000\).

Il tuo professore non ha menzionato questo aspetto delle disuguaglianze e ha fornito direttamente la costante \(C=1\), ma certo non è che se l'è inventata lui: ha dimostrato che \(C=1\) è una costante valida.