Teoria della misura
Buongiorno.
nello studio della teoria della misura si specifica che gli insiemi elementi ad una sigma algebra si dicono misurabili. ma qual'è il motivo che spieha il fatto che un insieme appartenente ad una sigma algebra sia necessariamente misurabili. per esempio l'insieme di vitali quindi non potrà mai appartenere a nessuna sigma algebra?
non sono un gran cultore della teoria della misura, qualcuno saprebbe spiegarmi questo fatto?
nello studio della teoria della misura si specifica che gli insiemi elementi ad una sigma algebra si dicono misurabili. ma qual'è il motivo che spieha il fatto che un insieme appartenente ad una sigma algebra sia necessariamente misurabili. per esempio l'insieme di vitali quindi non potrà mai appartenere a nessuna sigma algebra?
non sono un gran cultore della teoria della misura, qualcuno saprebbe spiegarmi questo fatto?
Risposte
"philipcool":
nello studio della teoria della misura si specifica che gli insiemi elementi ad una sigma algebra si dicono misurabili. ma qual'è il motivo che spiega il fatto che un insieme appartenente ad una sigma algebra sia necessariamente misurabili.
In astratto, se \(\mathfrak{M}\) è una \(\sigma\)-algebra su un insieme \(X\), la condizione:
\[
E \in \mathfrak{M}\ \Leftrightarrow\ E \text{ è misurabile}
\]
devi intenderla come una definizione dell'aggettivo "misurabile", quindi non ha senso porti la domanda
Nei casi concreti, quando uno la \(\sigma\)-algebra se la costruisce "a mano" (e non la assegna assiomaticamente dall'inizio) cercando di generare una misura \(\mu\) che, in casi elementari, coincida con qualcosa di noto*, gli insiemi misurabili si costruiscono ampliando via via una classe già nota, gli si assegna convenzionalmente una misura (usualmente ottenuta usando delle approssimazioni) e poi si mettono tutti in uno stesso "sacco" chiamato \(\mathfrak{M}\). Quando il sacco è abbastanza pieno, si cerca di dimostrare che \(\mathfrak{M}\) è effettivamente una \(\sigma\)-algebra e che \(\mu\) è una misura.
Quindi nel caso concreto, gli insiemi misurabili sono tali "per costruzione".
"philipcool":
per esempio l'insieme di vitali quindi non potrà mai appartenere a nessuna sigma algebra?
Certo che appartiene ad una \(\sigma\)-algebra: infatti, prova a prendere \(\mathfrak{M}=P([0,1])\) (l'insieme delle parti di \([0,1]\))...
__________
* Come nel caso della misura \(m\) di Lebesgue in \(\mathbb{R}\), che coincide con l'ampiezza sugli intervalli, i.e. \(m((a,b))=b-a\).
ma l'insieme di vitali non è l'esempio tipico di un insieme non misurabile? se appartenesse ad una sigma algebra sarebbe misurabile...o no?...scusa ma ho studiato la teoria della misura a livello abbastanza elementare come base su cui si fonda la teoria della probabilità in un corso che alla fine era di teoria della probabilità...
da quello che ho capito esistono degli insiemi aufficientemente "bizzarri" che non sono dotati di misura, il paradosso di banacj tarski si basa su questo. da una sfera suddivisa in un certo numero di parti non misurabili si possono ottenere due sfere esattamente identiche a quella originale appunto perchè gli insiemi in cui è stata divisa non sono dotati di misura alcuna.
l'ho capita giusta? grazie cmq per le interessanti delucidazioni
da quello che ho capito esistono degli insiemi aufficientemente "bizzarri" che non sono dotati di misura, il paradosso di banacj tarski si basa su questo. da una sfera suddivisa in un certo numero di parti non misurabili si possono ottenere due sfere esattamente identiche a quella originale appunto perchè gli insiemi in cui è stata divisa non sono dotati di misura alcuna.
l'ho capita giusta? grazie cmq per le interessanti delucidazioni
Il problema è che non fai una differenza terminologica che a livello astratto c'è.
Come detto, un insieme è misurabile se appartiene ad una certa \(\sigma\)-algebra \(\mathfrak{M}\).
Ora, però, non è detto che su questa \(\sigma\)-algebra uno debba per forza metterci una misura perché può anche limitarsi a considerare la struttura di spazio misurabile \((X,\mathfrak{M})\) ed a studiarne le proprietà (che dipendono unicamente dalle proprietà di \(\mathfrak{M}\) ed \(X\)).
La struttura di spazio di misura \((X,\mathfrak{M}, \mu)\) è una struttura di tipo diverso, perché qui gioca un ruolo anche la misura \(\mu\) (che assegna una "grandezza numerica" agli insiemi di \(\mathfrak{M}\)).
Ad ogni modo, chiarito che il tuo problema è che vuoi assegnare una misura all'insieme di Vitali partendo dalla misura di Lebesgue, non è detto che ciò non possa essere fatto (attraverso qualche teorema di estensione, ad esempio).
Tuttavia non ho particolari conoscenze in questo campo, quindi più di questo non so dirti al momento.
Come detto, un insieme è misurabile se appartiene ad una certa \(\sigma\)-algebra \(\mathfrak{M}\).
Ora, però, non è detto che su questa \(\sigma\)-algebra uno debba per forza metterci una misura perché può anche limitarsi a considerare la struttura di spazio misurabile \((X,\mathfrak{M})\) ed a studiarne le proprietà (che dipendono unicamente dalle proprietà di \(\mathfrak{M}\) ed \(X\)).
La struttura di spazio di misura \((X,\mathfrak{M}, \mu)\) è una struttura di tipo diverso, perché qui gioca un ruolo anche la misura \(\mu\) (che assegna una "grandezza numerica" agli insiemi di \(\mathfrak{M}\)).
Ad ogni modo, chiarito che il tuo problema è che vuoi assegnare una misura all'insieme di Vitali partendo dalla misura di Lebesgue, non è detto che ciò non possa essere fatto (attraverso qualche teorema di estensione, ad esempio).
Tuttavia non ho particolari conoscenze in questo campo, quindi più di questo non so dirti al momento.
"philipcool":
ma l'insieme di vitali non è l'esempio tipico di un insieme non misurabile?
No, non lo è
Si tratta "solo" di un insieme non misurabile secondo la misura di Lebesgue (e secondo altre misure un po' più generali: c'è un teorema in proposito sulle misure invarianti per traslazioni), ma non si può dire che non sia mai misurabile.Cioè, misurabile può significare due cose:
- appartiene a una $\sigma$-algebra;
- è misurabile secondo una certa misura.
L'insieme di Vitali appartiene probabilmente a un sacco di $\sigma$-algebre diverse (gugo82 ti ha fatto l'esempio di quella di tutte le parti di $[0,1]$) e sarà misurabile secondo chissà quante misure (per esempio, vuoi che non sia misurabile secondo la delta di Dirac?), però non è misurabile secondo le misure di probabilità invarianti per traslazioni.
Almeno, questo è quanto ho capito io
@retrocomputer: Beh, certo. Cambiando del tutto la misura si può fare quel che si vuole.
"gugo82":
@retrocomputer: Beh, certo. Cambiando del tutto la misura si può fare quel che si vuole.
Scusa, non avevo capito che philipcool si riferisse alla misura di Lebesgue quando parlava di insiemi misurabili
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