Teoria della misura
lo so che può sembrare una domanda troppo generica 
però secondo voi quali sono i problemi (e/o rami di ricerca aperti) aperti di teoria della misura che contano?... è un ramo ancora vivo o quello che serve è già stato trovato?
però secondo voi quali sono i problemi (e/o rami di ricerca aperti) aperti di teoria della misura che contano?... è un ramo ancora vivo o quello che serve è già stato trovato?
Risposte
Beh, ad esempio c'è tutta la teoria delle misure finitamente additive in cui succedono cose strane (ad esempio, gli spazi $L^p$ non sono sempre completi).
In proposito puoi buttare un occhio al libro dei due Baskara Rao, Theory of Charges, oppure agli articoli del prof. de Lucia.
In proposito puoi buttare un occhio al libro dei due Baskara Rao, Theory of Charges, oppure agli articoli del prof. de Lucia.
Inoltre ci sono alcune cose "spicciole" di TdM che vengono sfruttate molto in altri campi dell'Analisi: ad esempio, i riordinamenti sono importantissimi nella teoria delle EDP (soprattutto ellittiche) perchè consentono di ridurre la complessità di certi problemi di Calcolo delle Variazioni collegati alle EDP, p.e. alle stime delle soluzioni, oppure a disuguaglianze funzionali, tipo Hardy-Sobolev o Caffarelli-Kohn-Nirenberg.
Un esercizio sui riordinamenti l'ho postato qui; per un po' di teoria potresti guardare Kesavan, Symmetrization and Applications oppure Kawohl, Rearrangements and Convexity of level sets in PDE.
Un altro ramo molto interessante della TdM è quello della Teoria Geometrica della Misura, che è a cavallo tra la TdM classica (soprattutto misure di Hausdorff) ed il Calcolo delle Variazioni. In tal senso ci sono molte questioni legate alla disuguaglianza isoperimetrica (in tutte le salse) che sono molto importanti, ad esempio per i suddetti riordinamenti o per varie disuguaglianze funzionali intimamente collegate alla disuguaglianza isoperimetrica (e.g. disuguaglianza di Sobolev).
Un introduzione carina alla TGM è in Morgan, Geometric Measure Theory. A beginner's guide.
Un capitolo a parte è la Teoria delle Correnti Integrali, di cui però non so molto a parte il fatto che è servita per trovare la soluzione al problema di Plateau in dimensione $>=4$.
Un esercizio sui riordinamenti l'ho postato qui; per un po' di teoria potresti guardare Kesavan, Symmetrization and Applications oppure Kawohl, Rearrangements and Convexity of level sets in PDE.
Un altro ramo molto interessante della TdM è quello della Teoria Geometrica della Misura, che è a cavallo tra la TdM classica (soprattutto misure di Hausdorff) ed il Calcolo delle Variazioni. In tal senso ci sono molte questioni legate alla disuguaglianza isoperimetrica (in tutte le salse) che sono molto importanti, ad esempio per i suddetti riordinamenti o per varie disuguaglianze funzionali intimamente collegate alla disuguaglianza isoperimetrica (e.g. disuguaglianza di Sobolev).
Un introduzione carina alla TGM è in Morgan, Geometric Measure Theory. A beginner's guide.
Un capitolo a parte è la Teoria delle Correnti Integrali, di cui però non so molto a parte il fatto che è servita per trovare la soluzione al problema di Plateau in dimensione $>=4$.
"fu^2":
lo so che può sembrare una domanda troppo generica
però secondo voi quali sono i problemi (e/o rami di ricerca aperti) aperti di teoria della misura che contano?... è un ramo ancora vivo o quello che serve è già stato trovato?
Oltre ai campi menzionati nell'ottima risposta di Gugo, posso ricordare anche che, al di là dell'analisi, la teoria della misura in senso stretto è intimamente legata alla teoria degli insiemi, in particolare con la teoria dei grandi ordinali: a cavallo tra le due discipline c'è infatti un campo di ricerca affascinante noto con la designazione set-theoretic measure theory, in particolare con la teoria dei "grandi ordinali". Ad esempio, cosa succede se indeboliamo gli assiomi di ZFC? se li rafforziamo? e se li sostituiamo addirittura con altri? Quali teoremi dipendono in modo critico dall'assioma della scelta nelle sue varie forme? E così via...
"Gugo82":
Un capitolo a parte è la Teoria delle Correnti Integrali, di cui però non so molto a parte il fatto che è servita per trovare la soluzione al problema di Plateau in dimensione $>=4$.
Correnti... come misure di misure...
Mai sentita questa interpretazione delle correnti... in realtà una corrente è una "distribuzione" fatta dualizzando lo spazio delle funzioni (e quindi forme differenziali) su superfici invece dello spazio delle funzioni test, allo scopo di porre i problemi su superfici in una forma debole analoga alla forma debole delle PDE in $\RR^n$.
"Chevtchenko":
Ad esempio, cosa succede se indeboliamo gli assiomi di ZFC? se li rafforziamo? e se li sostituiamo addirittura con altri? Quali teoremi dipendono in modo critico dall'assioma della scelta nelle sue varie forme? E così via...
hai dei testi - articoli (ora che ho scoperto che attraverso l'università ho accesso a matscinet mi s'è aperto un nuovo mondo
!!!) di riferimento?...Perchè stavo leggendo in modo "approfondito" il paradosso di banach tarski, da cui discendono due problemi interessanti: uno noto come "marczewski's problem" (che ho ancora dubbi su come sia l'effettiva pronuncia di questo nome) che riguarda tutto sommato le misure finitamente additive e l'altro è esattamente quello da te citato.
"Luca.Lussardi":Mai sentita questa interpretazione delle correnti...[/quote]
[quote="Chevtchenko"]Correnti... come misure di misure...
Questo ti dimostra che c'è sempre da imparare. Puoi capire agevolmente la mia interpretazione se pensi che una misura regolare con segno può essere vista come una 0-corrente...
@fu^2
Puoi dare un'occhiata al volume quinto del trattato di Fremlin, Measure Theory...
E allora? L'interpretazione corretta delle correnti, l'idea di Federer e Fleming, vede le correnti come distribuzioni sulle forme differenziali, non come misure di misure, cosa che ancora non riesco a capire... fatto sta che l'interpretazione misure di misure da nessuno viene riportata.
"Luca.Lussardi":
E allora? L'interpretazione corretta delle correnti, l'idea di Federer e Fleming, vede le correnti come distribuzioni sulle forme differenziali, non come misure di misure, cosa che ancora non riesco a capire... fatto sta che l'interpretazione misure di misure da nessuno viene riportata.
Quella che riporti tu è la definizione (nulla da eccepire su questo ovviamente...), la mia è appunto un'interpretazione che credo sia utile e suggestiva.
"Chevtchenko":Mai sentita questa interpretazione delle correnti...[/quote]
[quote="Luca.Lussardi"][quote="Chevtchenko"]Correnti... come misure di misure...
Questo ti dimostra che c'è sempre da imparare. Puoi capire agevolmente la mia interpretazione se pensi che una misura regolare con segno può essere vista come una 0-corrente...[/quote]e quindi?
Ho capito che è un'interpretazione, ma non la capisco. Seguendo la definizione io non riesco a vedere la tua interpretazione come misura che sta misurando un'altra misura. Anche se fosse comunque non trovo una grande utilità personalmente, è proprio la corrente come distribuzione sulle forme che serve, perchè la superficie "debole" gioca lo stesso ruolo delle distribuzioni per le PDE.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo