Teoria della misura
Salve a tutti, nel corso di analisi 2 abbiamo rapidamente sfiorato l'argomento definendo la misura credo secondo peano jordan, e dicendo che un insieme è misurabile se e solo se la misura della sua frontiera è nulla...
ora leggendo una dispensa sulla misura di lebesgue trovo scritto che anche gli insiemi numerabili non sono misurabili, why?
Inoltre qual'è in soldoni l'obbiettivo della teoria della misura?
ora leggendo una dispensa sulla misura di lebesgue trovo scritto che anche gli insiemi numerabili non sono misurabili, why?
Inoltre qual'è in soldoni l'obbiettivo della teoria della misura?
Risposte
Costruire un insieme non misurabile secondo Lebesgue e' abbastanza artificioso, richiede l'uso dell'Assioma della scelta, anzi e' equivalente ad esso. Se un insieme e' numerabile, allora e' unione numerabile di singoletti, insiemi misurabili di misura di Lebesge n dimensionale nulla (a meno che non si tratti della misura che conta gli elementi, ovvero della misura 0 dimensionale), e dunque e' misurabile e di misura n dimensionale nulla (per ogni n non nullo).
Io non conosco bene la misura di Peano-Jordan... nel mio corso di Analisi II si partiva dalla misura di Hausdorff, e si ricavava la misura di Lebesgue, che comunque e' la definizione giusta che serve agli scopi.
L'obiettivo della Teoria della misura e' anzitutto quello di fondare il calcolo degli integrali multipli. Tutto puo' sembrare facile fino a quando integro una funzione ad esempio di due variabili su un rettangolo o un cerchio. Ma se comincio a voler integrare una funzione di 2 variabili su una curva, sono in crisi: se faccio ragionamenti tipo somme di Riemann, come spezzo la curva? qual e' la misura dei pezzettini di curva?
Ecco che a monte di tutto e' necessaria una teoria che permetta di dare risultati su come misurare gli insiemi.
Poi la Teoria della misura ha avuto uno sviluppo grandioso, e oggi serve in moltissimi altri settori. Molto importante e' il fatto che la Teoria della misura e' il fondamento matematico della Teoria della probabilita'. Infatti una probabilita' non e' nient'altro che una misura sullo spazio degli eventi.
Luca.
Io non conosco bene la misura di Peano-Jordan... nel mio corso di Analisi II si partiva dalla misura di Hausdorff, e si ricavava la misura di Lebesgue, che comunque e' la definizione giusta che serve agli scopi.
L'obiettivo della Teoria della misura e' anzitutto quello di fondare il calcolo degli integrali multipli. Tutto puo' sembrare facile fino a quando integro una funzione ad esempio di due variabili su un rettangolo o un cerchio. Ma se comincio a voler integrare una funzione di 2 variabili su una curva, sono in crisi: se faccio ragionamenti tipo somme di Riemann, come spezzo la curva? qual e' la misura dei pezzettini di curva?
Ecco che a monte di tutto e' necessaria una teoria che permetta di dare risultati su come misurare gli insiemi.
Poi la Teoria della misura ha avuto uno sviluppo grandioso, e oggi serve in moltissimi altri settori. Molto importante e' il fatto che la Teoria della misura e' il fondamento matematico della Teoria della probabilita'. Infatti una probabilita' non e' nient'altro che una misura sullo spazio degli eventi.
Luca.
Grazie ho capito abbastanza da ragionarci sopra...
Mi pare di ricordare che l'unica differenza tra la misura di Peano-Jordan e quella di Lebesgue è che un insieme ha misura nulla secondo PJ se esistono un numero finito n di plurirettangoli (prodotto cartesiano di N intervalli, in numero pari alla dimensione dello spazio) che ricoprono l'insieme di misura minore di epsilon.
Un insieme di misura nulla secondo Lebesgue (mi riferisco alla definizione data sul Gilardi, o almeno, quello che mi ricordo di essa) è definito in modo analogo con la differenza che i plurirettangoli non devono essere in numero finito ma possono essere un'infinità numerabile.
Un insieme di misura nulla secondo Lebesgue (mi riferisco alla definizione data sul Gilardi, o almeno, quello che mi ricordo di essa) è definito in modo analogo con la differenza che i plurirettangoli non devono essere in numero finito ma possono essere un'infinità numerabile.
Ma la misura di PJ di un insieme non è sostanzialmente l'integrale secondo Riemann della funzione caratteristica dell'insieme in questione?
Per questo Q ad esempio non è misurabile per PJ (non possiamo infatti fare l'integrale di Rieman di un "qualcosa" che fa su e giù ogni momento
come fa la funzione caratteristica di Q) mentre ha misura nulla per Lebesgue.
Per questo Q ad esempio non è misurabile per PJ (non possiamo infatti fare l'integrale di Rieman di un "qualcosa" che fa su e giù ogni momento
come fa la funzione caratteristica di Q) mentre ha misura nulla per Lebesgue.
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