Teoria Criterio di Leibniz

[Sk_Anonymous]

Salve, mi servirebbe un chiarimento sul criterio di Leibniz per la convergenza di Serie a Segno Alterno:
cioè una serie stabilendo che è a segno alterno basta che $a_n$ è decrescente e che il $lim_(n->+oo) a_n =0$ allora è convergente?
e se una serie a segno alterno non è decrescente che si fa? non si può applicare! e come si studia se converge?
questo aspetto non mi è chiaro
Grazie per qualsiasi risposta!

[j18eos]

La risposta alla prima domanda è: sì!
La risposta alla seconda domanda è: la serie non converge a meno di altre proprietà!
Altri dubbi?

EDIT: Leggi il post successivo.

[gugo82]

"j18eos":La risposta alla seconda domanda è: la serie non converge!

Ma anche no.

Prendi ad esempio:

[tex]$a_n:=\begin{cases} \frac{1}{(h+1)^2} &\text{, se $n=2h$} \\ e^{-h} &\text{, se $n=2h+1$} \end{cases}$[/tex];

la serie [tex]$\sum (-1)^n\ a_n$[/tex] è a segni alterni, verifica le ipotesi del Teorema di Leibniz tranne quella di decrescenza (non la verifica nemmeno definitivamente), però la serie converge* ed ha per somma:

[tex]$\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\ a_n=\sum_{h=0}^{+\infty} \frac{1}{(h+1)^2} -\sum_{h=0}^{+\infty} e^{-h} =\frac{\pi^2}{6}-\frac{e}{e-1}$[/tex].

Mi potresti obiettare che ho barato, perchè la serie che ho scelto è assolutamente convergente; però tu non hai imposto nessuna restrizione a riguardo, ergo...


@12Aquila: Insomma, quando l'ipotesi di decrescenza non è verificata, devi arrangiarti "a mano".


__________
* Essa si può scrivere come differenza di due serie convergenti.

[j18eos]

Hai utilizzato una proprietà di convergenza più forte e valida in generale: l'assoluta convergenza che io ho ignorato!

[Sk_Anonymous]

j18eos e gugo82 Grazie Mille!! è tutto chiaro!
da quello che ho capito se l'ipotesi di decrescenza non è verificata:

"j18eos":La risposta alla seconda domanda è: la serie non converge!

ma ci può essere qualche caso particolare in cui:

"gugo82":@12Aquila: Insomma, quando l'ipotesi di decrescenza non è verificata, devi arrangiarti "a mano".

ho capito bene?

- potresti definire "arrangiarti a mano"? (dovrei usare il metodo della convergenza dell'integrale della funzione associata a $a_n$?)
Grazie!

[j18eos]

Utilizzare altri criteri per la convergenza di una serie qualsiasi come l'assoluta convergenza, il confronto, il metodo integrale ed altro che ora mi sfugge.

[Sk_Anonymous]

ok perfetto,
quindi la serie non converge a meno che converge utilizzando altri criteri per la convergenza di una serie qualsiasi.
Grazie di Tutto! ciao